Theorem ftc1a 23800

Description: The Fundamental Theorem of Calculus, part one. The function G formed by varying the right endpoint of an integral of F is continuous if F is integrable. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ftc1.g	|- G = ( x e. ( A [,] B ) |-> S. ( A (,) x ) ( F ` t ) _d t )
ftc1.a	|- ( ph -> A e. RR )
ftc1.b	|- ( ph -> B e. RR )
ftc1.le	|- ( ph -> A <_ B )
ftc1.s	|- ( ph -> ( A (,) B ) C_ D )
ftc1.d	|- ( ph -> D C_ RR )
ftc1.i	|- ( ph -> F e. L^1 )
ftc1a.f	|- ( ph -> F : D --> CC )

Assertion

Ref	Expression
ftc1a	|- ( ph -> G e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )

Distinct variable groups:   x, t, D   t, A, x   t, B, x   ph, t, x   t, F, x

Allowed substitution hints:   G( x, t)

Proof of Theorem ftc1a

Dummy variables s u w y z r d e are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ftc1.g	. . 3 |- G = ( x e. ( A [,] B ) |-> S. ( A (,) x ) ( F ` t ) _d t )
2		ftc1.a	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
3		ftc1.b	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
4		ftc1.le	. . 3 |- ( ph -> A <_ B )
5		ftc1.s	. . 3 |- ( ph -> ( A (,) B ) C_ D )
6		ftc1.d	. . 3 |- ( ph -> D C_ RR )
7		ftc1.i	. . 3 |- ( ph -> F e. L^1 )
8		ftc1a.f	. . 3 |- ( ph -> F : D --> CC )
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	ftc1lem2 23799	. 2 |- ( ph -> G : ( A [,] B ) --> CC )
10		fvexd 6203	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ w e. D ) -> ( F ` w ) e. _V )
11	8	feqmptd 6249	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F = ( w e. D |-> ( F ` w ) ) )
12	11, 7	eqeltrrd 2702	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( w e. D |-> ( F ` w ) ) e. L^1 )
13	12	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( w e. D |-> ( F ` w ) ) e. L^1 )
14		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> e e. RR+ )
15	10, 13, 14	itgcn 23609	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> E. d e. RR+ A. u e. dom vol ( ( u C_ D /\ ( vol ` u ) < d ) -> S. u ( abs ` ( F ` w ) ) _d w < e ) )
16		oveq12 6659	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( s = z /\ r = y ) -> ( s - r ) = ( z - y ) )
17	16	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( s = z /\ r = y ) -> ( abs ` ( s - r ) ) = ( abs ` ( z - y ) ) )
18	17	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( s = z /\ r = y ) -> ( ( abs ` ( s - r ) ) < d <-> ( abs ` ( z - y ) ) < d ) )
19		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( s = z -> ( G ` s ) = ( G ` z ) )
20		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( r = y -> ( G ` r ) = ( G ` y ) )
21	19, 20	oveqan12d 6669	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( s = z /\ r = y ) -> ( ( G ` s ) - ( G ` r ) ) = ( ( G ` z ) - ( G ` y ) ) )
22	21	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( s = z /\ r = y ) -> ( abs ` ( ( G ` s ) - ( G ` r ) ) ) = ( abs ` ( ( G ` z ) - ( G ` y ) ) ) )
23	22	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( s = z /\ r = y ) -> ( ( abs ` ( ( G ` s ) - ( G ` r ) ) ) < e <-> ( abs ` ( ( G ` z ) - ( G ` y ) ) ) < e ) )
24	18, 23	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( s = z /\ r = y ) -> ( ( ( abs ` ( s - r ) ) < d -> ( abs ` ( ( G ` s ) - ( G ` r ) ) ) < e ) <-> ( ( abs ` ( z - y ) ) < d -> ( abs ` ( ( G ` z ) - ( G ` y ) ) ) < e ) ) )
25	24	ancoms 469	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( r = y /\ s = z ) -> ( ( ( abs ` ( s - r ) ) < d -> ( abs ` ( ( G ` s ) - ( G ` r ) ) ) < e ) <-> ( ( abs ` ( z - y ) ) < d -> ( abs ` ( ( G ` z ) - ( G ` y ) ) ) < e ) ) )
26		oveq12 6659	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( s = y /\ r = z ) -> ( s - r ) = ( y - z ) )
27	26	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( s = y /\ r = z ) -> ( abs ` ( s - r ) ) = ( abs ` ( y - z ) ) )
28	27	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( s = y /\ r = z ) -> ( ( abs ` ( s - r ) ) < d <-> ( abs ` ( y - z ) ) < d ) )
29		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( s = y -> ( G ` s ) = ( G ` y ) )
30		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( r = z -> ( G ` r ) = ( G ` z ) )
31	29, 30	oveqan12d 6669	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( s = y /\ r = z ) -> ( ( G ` s ) - ( G ` r ) ) = ( ( G ` y ) - ( G ` z ) ) )
32	31	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( s = y /\ r = z ) -> ( abs ` ( ( G ` s ) - ( G ` r ) ) ) = ( abs ` ( ( G ` y ) - ( G ` z ) ) ) )
33	32	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( s = y /\ r = z ) -> ( ( abs ` ( ( G ` s ) - ( G ` r ) ) ) < e <-> ( abs ` ( ( G ` y ) - ( G ` z ) ) ) < e ) )
34	28, 33	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( s = y /\ r = z ) -> ( ( ( abs ` ( s - r ) ) < d -> ( abs ` ( ( G ` s ) - ( G ` r ) ) ) < e ) <-> ( ( abs ` ( y - z ) ) < d -> ( abs ` ( ( G ` y ) - ( G ` z ) ) ) < e ) ) )
35	34	ancoms 469	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( r = z /\ s = y ) -> ( ( ( abs ` ( s - r ) ) < d -> ( abs ` ( ( G ` s ) - ( G ` r ) ) ) < e ) <-> ( ( abs ` ( y - z ) ) < d -> ( abs ` ( ( G ` y ) - ( G ` z ) ) ) < e ) ) )
36		iccssre 12255	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A [,] B ) C_ RR )
37	2, 3, 36	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( A [,] B ) C_ RR )
38	37	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ D /\ ( vol ` u ) < d ) -> S. u ( abs ` ( F ` w ) ) _d w < e ) ) -> ( A [,] B ) C_ RR )
39	37	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ D /\ ( vol ` u ) < d ) -> S. u ( abs ` ( F ` w ) ) _d w < e ) ) /\ ( y e. ( A [,] B ) /\ z e. ( A [,] B ) ) ) -> ( A [,] B ) C_ RR )
40		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ D /\ ( vol ` u ) < d ) -> S. u ( abs ` ( F ` w ) ) _d w < e ) ) /\ ( y e. ( A [,] B ) /\ z e. ( A [,] B ) ) ) -> z e. ( A [,] B ) )
41	39, 40	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ D /\ ( vol ` u ) < d ) -> S. u ( abs ` ( F ` w ) ) _d w < e ) ) /\ ( y e. ( A [,] B ) /\ z e. ( A [,] B ) ) ) -> z e. RR )
42	41	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ D /\ ( vol ` u ) < d ) -> S. u ( abs ` ( F ` w ) ) _d w < e ) ) /\ ( y e. ( A [,] B ) /\ z e. ( A [,] B ) ) ) -> z e. CC )
43		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ D /\ ( vol ` u ) < d ) -> S. u ( abs ` ( F ` w ) ) _d w < e ) ) /\ ( y e. ( A [,] B ) /\ z e. ( A [,] B ) ) ) -> y e. ( A [,] B ) )
44	39, 43	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ D /\ ( vol ` u ) < d ) -> S. u ( abs ` ( F ` w ) ) _d w < e ) ) /\ ( y e. ( A [,] B ) /\ z e. ( A [,] B ) ) ) -> y e. RR )
45	44	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ D /\ ( vol ` u ) < d ) -> S. u ( abs ` ( F ` w ) ) _d w < e ) ) /\ ( y e. ( A [,] B ) /\ z e. ( A [,] B ) ) ) -> y e. CC )
46	42, 45	abssubd 14192	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ D /\ ( vol ` u ) < d ) -> S. u ( abs ` ( F ` w ) ) _d w < e ) ) /\ ( y e. ( A [,] B ) /\ z e. ( A [,] B ) ) ) -> ( abs ` ( z - y ) ) = ( abs ` ( y - z ) ) )
47	46	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ D /\ ( vol ` u ) < d ) -> S. u ( abs ` ( F ` w ) ) _d w < e ) ) /\ ( y e. ( A [,] B ) /\ z e. ( A [,] B ) ) ) -> ( ( abs ` ( z - y ) ) < d <-> ( abs ` ( y - z ) ) < d ) )
48	9	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ D /\ ( vol ` u ) < d ) -> S. u ( abs ` ( F ` w ) ) _d w < e ) ) /\ ( y e. ( A [,] B ) /\ z e. ( A [,] B ) ) ) -> G : ( A [,] B ) --> CC )
49	48, 40	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ D /\ ( vol ` u ) < d ) -> S. u ( abs ` ( F ` w ) ) _d w < e ) ) /\ ( y e. ( A [,] B ) /\ z e. ( A [,] B ) ) ) -> ( G ` z ) e. CC )
50	48, 43	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ D /\ ( vol ` u ) < d ) -> S. u ( abs ` ( F ` w ) ) _d w < e ) ) /\ ( y e. ( A [,] B ) /\ z e. ( A [,] B ) ) ) -> ( G ` y ) e. CC )
51	49, 50	abssubd 14192	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ D /\ ( vol ` u ) < d ) -> S. u ( abs ` ( F ` w ) ) _d w < e ) ) /\ ( y e. ( A [,] B ) /\ z e. ( A [,] B ) ) ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - ( G ` y ) ) ) = ( abs ` ( ( G ` y ) - ( G ` z ) ) ) )
52	51	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ D /\ ( vol ` u ) < d ) -> S. u ( abs ` ( F ` w ) ) _d w < e ) ) /\ ( y e. ( A [,] B ) /\ z e. ( A [,] B ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( G ` z ) - ( G ` y ) ) ) < e <-> ( abs ` ( ( G ` y ) - ( G ` z ) ) ) < e ) )
53	47, 52	imbi12d 334	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ D /\ ( vol ` u ) < d ) -> S. u ( abs ` ( F ` w ) ) _d w < e ) ) /\ ( y e. ( A [,] B ) /\ z e. ( A [,] B ) ) ) -> ( ( ( abs ` ( z - y ) ) < d -> ( abs ` ( ( G ` z ) - ( G ` y ) ) ) < e ) <-> ( ( abs ` ( y - z ) ) < d -> ( abs ` ( ( G ` y ) - ( G ` z ) ) ) < e ) ) )
54		simpr3 1069	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A [,] B ) /\ z e. ( A [,] B ) /\ y <_ z ) ) -> y <_ z )
55	2	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A [,] B ) /\ z e. ( A [,] B ) /\ y <_ z ) ) -> A e. RR )
56	3	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A [,] B ) /\ z e. ( A [,] B ) /\ y <_ z ) ) -> B e. RR )
57	4	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A [,] B ) /\ z e. ( A [,] B ) /\ y <_ z ) ) -> A <_ B )
58	5	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A [,] B ) /\ z e. ( A [,] B ) /\ y <_ z ) ) -> ( A (,) B ) C_ D )
59	6	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A [,] B ) /\ z e. ( A [,] B ) /\ y <_ z ) ) -> D C_ RR )
60	7	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A [,] B ) /\ z e. ( A [,] B ) /\ y <_ z ) ) -> F e. L^1 )
61	8	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A [,] B ) /\ z e. ( A [,] B ) /\ y <_ z ) ) -> F : D --> CC )
62		simpr1 1067	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A [,] B ) /\ z e. ( A [,] B ) /\ y <_ z ) ) -> y e. ( A [,] B ) )
63		simpr2 1068	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A [,] B ) /\ z e. ( A [,] B ) /\ y <_ z ) ) -> z e. ( A [,] B ) )
64	1, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63	ftc1lem1 23798	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( A [,] B ) /\ z e. ( A [,] B ) /\ y <_ z ) ) /\ y <_ z ) -> ( ( G ` z ) - ( G ` y ) ) = S. ( y (,) z ) ( F ` t ) _d t )
65	54, 64	mpdan 702	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A [,] B ) /\ z e. ( A [,] B ) /\ y <_ z ) ) -> ( ( G ` z ) - ( G ` y ) ) = S. ( y (,) z ) ( F ` t ) _d t )
66	65	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ ( y e. ( A [,] B ) /\ z e. ( A [,] B ) /\ y <_ z ) ) -> ( ( G ` z ) - ( G ` y ) ) = S. ( y (,) z ) ( F ` t ) _d t )
67	66	ad2ant2r 783	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ D /\ ( vol ` u ) < d ) -> S. u ( abs ` ( F ` w ) ) _d w < e ) ) /\ ( ( y e. ( A [,] B ) /\ z e. ( A [,] B ) /\ y <_ z ) /\ ( abs ` ( z - y ) ) < d ) ) -> ( ( G ` z ) - ( G ` y ) ) = S. ( y (,) z ) ( F ` t ) _d t )
68	67	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ D /\ ( vol ` u ) < d ) -> S. u ( abs ` ( F ` w ) ) _d w < e ) ) /\ ( ( y e. ( A [,] B ) /\ z e. ( A [,] B ) /\ y <_ z ) /\ ( abs ` ( z - y ) ) < d ) ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - ( G ` y ) ) ) = ( abs ` S. ( y (,) z ) ( F ` t ) _d t ) )
69		fvexd 6203	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ D /\ ( vol ` u ) < d ) -> S. u ( abs ` ( F ` w ) ) _d w < e ) ) /\ ( ( y e. ( A [,] B ) /\ z e. ( A [,] B ) /\ y <_ z ) /\ ( abs ` ( z - y ) ) < d ) ) /\ t e. ( y (,) z ) ) -> ( F ` t ) e. _V )
70	2	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ D /\ ( vol ` u ) < d ) -> S. u ( abs ` ( F ` w ) ) _d w < e ) ) /\ ( ( y e. ( A [,] B ) /\ z e. ( A [,] B ) /\ y <_ z ) /\ ( abs ` ( z - y ) ) < d ) ) -> A e. RR )
71	70	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ D /\ ( vol ` u ) < d ) -> S. u ( abs ` ( F ` w ) ) _d w < e ) ) /\ ( ( y e. ( A [,] B ) /\ z e. ( A [,] B ) /\ y <_ z ) /\ ( abs ` ( z - y ) ) < d ) ) -> A e. RR* )
72		simprl1 1106	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ D /\ ( vol ` u ) < d ) -> S. u ( abs ` ( F ` w ) ) _d w < e ) ) /\ ( ( y e. ( A [,] B ) /\ z e. ( A [,] B ) /\ y <_ z ) /\ ( abs ` ( z - y ) ) < d ) ) -> y e. ( A [,] B ) )
73	3	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ D /\ ( vol ` u ) < d ) -> S. u ( abs ` ( F ` w ) ) _d w < e ) ) /\ ( ( y e. ( A [,] B ) /\ z e. ( A [,] B ) /\ y <_ z ) /\ ( abs ` ( z - y ) ) < d ) ) -> B e. RR )
74		elicc2 12238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( y e. ( A [,] B ) <-> ( y e. RR /\ A <_ y /\ y <_ B ) ) )
75	70, 73, 74	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ D /\ ( vol ` u ) < d ) -> S. u ( abs ` ( F ` w ) ) _d w < e ) ) /\ ( ( y e. ( A [,] B ) /\ z e. ( A [,] B ) /\ y <_ z ) /\ ( abs ` ( z - y ) ) < d ) ) -> ( y e. ( A [,] B ) <-> ( y e. RR /\ A <_ y /\ y <_ B ) ) )
76	72, 75	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ D /\ ( vol ` u ) < d ) -> S. u ( abs ` ( F ` w ) ) _d w < e ) ) /\ ( ( y e. ( A [,] B ) /\ z e. ( A [,] B ) /\ y <_ z ) /\ ( abs ` ( z - y ) ) < d ) ) -> ( y e. RR /\ A <_ y /\ y <_ B ) )
77	76	simp2d 1074	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ D /\ ( vol ` u ) < d ) -> S. u ( abs ` ( F ` w ) ) _d w < e ) ) /\ ( ( y e. ( A [,] B ) /\ z e. ( A [,] B ) /\ y <_ z ) /\ ( abs ` ( z - y ) ) < d ) ) -> A <_ y )
78		iooss1 12210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( A e. RR* /\ A <_ y ) -> ( y (,) z ) C_ ( A (,) z ) )
79	71, 77, 78	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ D /\ ( vol ` u ) < d ) -> S. u ( abs ` ( F ` w ) ) _d w < e ) ) /\ ( ( y e. ( A [,] B ) /\ z e. ( A [,] B ) /\ y <_ z ) /\ ( abs ` ( z - y ) ) < d ) ) -> ( y (,) z ) C_ ( A (,) z ) )
80	73	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ D /\ ( vol ` u ) < d ) -> S. u ( abs ` ( F ` w ) ) _d w < e ) ) /\ ( ( y e. ( A [,] B ) /\ z e. ( A [,] B ) /\ y <_ z ) /\ ( abs ` ( z - y ) ) < d ) ) -> B e. RR* )
81		simprl2 1107	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ D /\ ( vol ` u ) < d ) -> S. u ( abs ` ( F ` w ) ) _d w < e ) ) /\ ( ( y e. ( A [,] B ) /\ z e. ( A [,] B ) /\ y <_ z ) /\ ( abs ` ( z - y ) ) < d ) ) -> z e. ( A [,] B ) )
82		elicc2 12238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( z e. ( A [,] B ) <-> ( z e. RR /\ A <_ z /\ z <_ B ) ) )
83	70, 73, 82	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ D /\ ( vol ` u ) < d ) -> S. u ( abs ` ( F ` w ) ) _d w < e ) ) /\ ( ( y e. ( A [,] B ) /\ z e. ( A [,] B ) /\ y <_ z ) /\ ( abs ` ( z - y ) ) < d ) ) -> ( z e. ( A [,] B ) <-> ( z e. RR /\ A <_ z /\ z <_ B ) ) )
84	81, 83	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ D /\ ( vol ` u ) < d ) -> S. u ( abs ` ( F ` w ) ) _d w < e ) ) /\ ( ( y e. ( A [,] B ) /\ z e. ( A [,] B ) /\ y <_ z ) /\ ( abs ` ( z - y ) ) < d ) ) -> ( z e. RR /\ A <_ z /\ z <_ B ) )
85	84	simp3d 1075	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ D /\ ( vol ` u ) < d ) -> S. u ( abs ` ( F ` w ) ) _d w < e ) ) /\ ( ( y e. ( A [,] B ) /\ z e. ( A [,] B ) /\ y <_ z ) /\ ( abs ` ( z - y ) ) < d ) ) -> z <_ B )
86		iooss2 12211	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( B e. RR* /\ z <_ B ) -> ( A (,) z ) C_ ( A (,) B ) )
87	80, 85, 86	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ D /\ ( vol ` u ) < d ) -> S. u ( abs ` ( F ` w ) ) _d w < e ) ) /\ ( ( y e. ( A [,] B ) /\ z e. ( A [,] B ) /\ y <_ z ) /\ ( abs ` ( z - y ) ) < d ) ) -> ( A (,) z ) C_ ( A (,) B ) )
88	79, 87	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ D /\ ( vol ` u ) < d ) -> S. u ( abs ` ( F ` w ) ) _d w < e ) ) /\ ( ( y e. ( A [,] B ) /\ z e. ( A [,] B ) /\ y <_ z ) /\ ( abs ` ( z - y ) ) < d ) ) -> ( y (,) z ) C_ ( A (,) B ) )
89	5	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ D /\ ( vol ` u ) < d ) -> S. u ( abs ` ( F ` w ) ) _d w < e ) ) /\ ( ( y e. ( A [,] B ) /\ z e. ( A [,] B ) /\ y <_ z ) /\ ( abs ` ( z - y ) ) < d ) ) -> ( A (,) B ) C_ D )
90	88, 89	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ D /\ ( vol ` u ) < d ) -> S. u ( abs ` ( F ` w ) ) _d w < e ) ) /\ ( ( y e. ( A [,] B ) /\ z e. ( A [,] B ) /\ y <_ z ) /\ ( abs ` ( z - y ) ) < d ) ) -> ( y (,) z ) C_ D )
91		ioombl 23333	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y (,) z ) e. dom vol
92	91	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ D /\ ( vol ` u ) < d ) -> S. u ( abs ` ( F ` w ) ) _d w < e ) ) /\ ( ( y e. ( A [,] B ) /\ z e. ( A [,] B ) /\ y <_ z ) /\ ( abs ` ( z - y ) ) < d ) ) -> ( y (,) z ) e. dom vol )
93		fvexd 6203	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ D /\ ( vol ` u ) < d ) -> S. u ( abs ` ( F ` w ) ) _d w < e ) ) /\ ( ( y e. ( A [,] B ) /\ z e. ( A [,] B ) /\ y <_ z ) /\ ( abs ` ( z - y ) ) < d ) ) /\ t e. D ) -> ( F ` t ) e. _V )
94	8	feqmptd 6249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> F = ( t e. D |-> ( F ` t ) ) )
95	94, 7	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( t e. D |-> ( F ` t ) ) e. L^1 )
96	95	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ D /\ ( vol ` u ) < d ) -> S. u ( abs ` ( F ` w ) ) _d w < e ) ) /\ ( ( y e. ( A [,] B ) /\ z e. ( A [,] B ) /\ y <_ z ) /\ ( abs ` ( z - y ) ) < d ) ) -> ( t e. D |-> ( F ` t ) ) e. L^1 )
97	90, 92, 93, 96	iblss 23571	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ D /\ ( vol ` u ) < d ) -> S. u ( abs ` ( F ` w ) ) _d w < e ) ) /\ ( ( y e. ( A [,] B ) /\ z e. ( A [,] B ) /\ y <_ z ) /\ ( abs ` ( z - y ) ) < d ) ) -> ( t e. ( y (,) z ) |-> ( F ` t ) ) e. L^1 )
98	69, 97	itgcl 23550	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ D /\ ( vol ` u ) < d ) -> S. u ( abs ` ( F ` w ) ) _d w < e ) ) /\ ( ( y e. ( A [,] B ) /\ z e. ( A [,] B ) /\ y <_ z ) /\ ( abs ` ( z - y ) ) < d ) ) -> S. ( y (,) z ) ( F ` t ) _d t e. CC )
99	98	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ D /\ ( vol ` u ) < d ) -> S. u ( abs ` ( F ` w ) ) _d w < e ) ) /\ ( ( y e. ( A [,] B ) /\ z e. ( A [,] B ) /\ y <_ z ) /\ ( abs ` ( z - y ) ) < d ) ) -> ( abs ` S. ( y (,) z ) ( F ` t ) _d t ) e. RR )
100		iblmbf 23534	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( t e. ( y (,) z ) |-> ( F ` t ) ) e. L^1 -> ( t e. ( y (,) z ) |-> ( F ` t ) ) e. MblFn )
101	97, 100	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ D /\ ( vol ` u ) < d ) -> S. u ( abs ` ( F ` w ) ) _d w < e ) ) /\ ( ( y e. ( A [,] B ) /\ z e. ( A [,] B ) /\ y <_ z ) /\ ( abs ` ( z - y ) ) < d ) ) -> ( t e. ( y (,) z ) |-> ( F ` t ) ) e. MblFn )
102	101, 69	mbfmptcl 23404	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ D /\ ( vol ` u ) < d ) -> S. u ( abs ` ( F ` w ) ) _d w < e ) ) /\ ( ( y e. ( A [,] B ) /\ z e. ( A [,] B ) /\ y <_ z ) /\ ( abs ` ( z - y ) ) < d ) ) /\ t e. ( y (,) z ) ) -> ( F ` t ) e. CC )
103	102	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ D /\ ( vol ` u ) < d ) -> S. u ( abs ` ( F ` w ) ) _d w < e ) ) /\ ( ( y e. ( A [,] B ) /\ z e. ( A [,] B ) /\ y <_ z ) /\ ( abs ` ( z - y ) ) < d ) ) /\ t e. ( y (,) z ) ) -> ( abs ` ( F ` t ) ) e. RR )
104	69, 97	iblabs 23595	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ D /\ ( vol ` u ) < d ) -> S. u ( abs ` ( F ` w ) ) _d w < e ) ) /\ ( ( y e. ( A [,] B ) /\ z e. ( A [,] B ) /\ y <_ z ) /\ ( abs ` ( z - y ) ) < d ) ) -> ( t e. ( y (,) z ) |-> ( abs ` ( F ` t ) ) ) e. L^1 )
105	103, 104	itgrecl 23564	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ D /\ ( vol ` u ) < d ) -> S. u ( abs ` ( F ` w ) ) _d w < e ) ) /\ ( ( y e. ( A [,] B ) /\ z e. ( A [,] B ) /\ y <_ z ) /\ ( abs ` ( z - y ) ) < d ) ) -> S. ( y (,) z ) ( abs ` ( F ` t ) ) _d t e. RR )
106		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) -> e e. RR+ )
107	106	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ D /\ ( vol ` u ) < d ) -> S. u ( abs ` ( F ` w ) ) _d w < e ) ) /\ ( ( y e. ( A [,] B ) /\ z e. ( A [,] B ) /\ y <_ z ) /\ ( abs ` ( z - y ) ) < d ) ) -> e e. RR+ )
108	107	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ D /\ ( vol ` u ) < d ) -> S. u ( abs ` ( F ` w ) ) _d w < e ) ) /\ ( ( y e. ( A [,] B ) /\ z e. ( A [,] B ) /\ y <_ z ) /\ ( abs ` ( z - y ) ) < d ) ) -> e e. RR )
109	69, 97	itgabs 23601	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ D /\ ( vol ` u ) < d ) -> S. u ( abs ` ( F ` w ) ) _d w < e ) ) /\ ( ( y e. ( A [,] B ) /\ z e. ( A [,] B ) /\ y <_ z ) /\ ( abs ` ( z - y ) ) < d ) ) -> ( abs ` S. ( y (,) z ) ( F ` t ) _d t ) <_ S. ( y (,) z ) ( abs ` ( F ` t ) ) _d t )
110		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ D /\ ( vol ` u ) < d ) -> S. u ( abs ` ( F ` w ) ) _d w < e ) ) /\ ( ( y e. ( A [,] B ) /\ z e. ( A [,] B ) /\ y <_ z ) /\ ( abs ` ( z - y ) ) < d ) ) -> A. u e. dom vol ( ( u C_ D /\ ( vol ` u ) < d ) -> S. u ( abs ` ( F ` w ) ) _d w < e ) )
111		mblvol 23298	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y (,) z ) e. dom vol -> ( vol ` ( y (,) z ) ) = ( vol* ` ( y (,) z ) ) )
112	91, 111	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( vol ` ( y (,) z ) ) = ( vol* ` ( y (,) z ) )
113		ioossre 12235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y (,) z ) C_ RR
114		ovolcl 23246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y (,) z ) C_ RR -> ( vol* ` ( y (,) z ) ) e. RR* )
115	113, 114	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ D /\ ( vol ` u ) < d ) -> S. u ( abs ` ( F ` w ) ) _d w < e ) ) /\ ( ( y e. ( A [,] B ) /\ z e. ( A [,] B ) /\ y <_ z ) /\ ( abs ` ( z - y ) ) < d ) ) -> ( vol* ` ( y (,) z ) ) e. RR* )
116	84	simp1d 1073	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ D /\ ( vol ` u ) < d ) -> S. u ( abs ` ( F ` w ) ) _d w < e ) ) /\ ( ( y e. ( A [,] B ) /\ z e. ( A [,] B ) /\ y <_ z ) /\ ( abs ` ( z - y ) ) < d ) ) -> z e. RR )
117	76	simp1d 1073	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ D /\ ( vol ` u ) < d ) -> S. u ( abs ` ( F ` w ) ) _d w < e ) ) /\ ( ( y e. ( A [,] B ) /\ z e. ( A [,] B ) /\ y <_ z ) /\ ( abs ` ( z - y ) ) < d ) ) -> y e. RR )
118	116, 117	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ D /\ ( vol ` u ) < d ) -> S. u ( abs ` ( F ` w ) ) _d w < e ) ) /\ ( ( y e. ( A [,] B ) /\ z e. ( A [,] B ) /\ y <_ z ) /\ ( abs ` ( z - y ) ) < d ) ) -> ( z - y ) e. RR )
119	118	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ D /\ ( vol ` u ) < d ) -> S. u ( abs ` ( F ` w ) ) _d w < e ) ) /\ ( ( y e. ( A [,] B ) /\ z e. ( A [,] B ) /\ y <_ z ) /\ ( abs ` ( z - y ) ) < d ) ) -> ( z - y ) e. RR* )
120		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) -> d e. RR+ )
121	120	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ D /\ ( vol ` u ) < d ) -> S. u ( abs ` ( F ` w ) ) _d w < e ) ) /\ ( ( y e. ( A [,] B ) /\ z e. ( A [,] B ) /\ y <_ z ) /\ ( abs ` ( z - y ) ) < d ) ) -> d e. RR+ )
122	121	rpxrd 11873	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ D /\ ( vol ` u ) < d ) -> S. u ( abs ` ( F ` w ) ) _d w < e ) ) /\ ( ( y e. ( A [,] B ) /\ z e. ( A [,] B ) /\ y <_ z ) /\ ( abs ` ( z - y ) ) < d ) ) -> d e. RR* )
123		ioossicc 12259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y (,) z ) C_ ( y [,] z )
124		iccssre 12255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( y e. RR /\ z e. RR ) -> ( y [,] z ) C_ RR )
125	117, 116, 124	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ D /\ ( vol ` u ) < d ) -> S. u ( abs ` ( F ` w ) ) _d w < e ) ) /\ ( ( y e. ( A [,] B ) /\ z e. ( A [,] B ) /\ y <_ z ) /\ ( abs ` ( z - y ) ) < d ) ) -> ( y [,] z ) C_ RR )
126		ovolss 23253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( y (,) z ) C_ ( y [,] z ) /\ ( y [,] z ) C_ RR ) -> ( vol* ` ( y (,) z ) ) <_ ( vol* ` ( y [,] z ) ) )
127	123, 125, 126	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ D /\ ( vol ` u ) < d ) -> S. u ( abs ` ( F ` w ) ) _d w < e ) ) /\ ( ( y e. ( A [,] B ) /\ z e. ( A [,] B ) /\ y <_ z ) /\ ( abs ` ( z - y ) ) < d ) ) -> ( vol* ` ( y (,) z ) ) <_ ( vol* ` ( y [,] z ) ) )
128		simprl3 1108	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ D /\ ( vol ` u ) < d ) -> S. u ( abs ` ( F ` w ) ) _d w < e ) ) /\ ( ( y e. ( A [,] B ) /\ z e. ( A [,] B ) /\ y <_ z ) /\ ( abs ` ( z - y ) ) < d ) ) -> y <_ z )
129		ovolicc 23291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) -> ( vol* ` ( y [,] z ) ) = ( z - y ) )
130	117, 116, 128, 129	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ D /\ ( vol ` u ) < d ) -> S. u ( abs ` ( F ` w ) ) _d w < e ) ) /\ ( ( y e. ( A [,] B ) /\ z e. ( A [,] B ) /\ y <_ z ) /\ ( abs ` ( z - y ) ) < d ) ) -> ( vol* ` ( y [,] z ) ) = ( z - y ) )
131	127, 130	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ D /\ ( vol ` u ) < d ) -> S. u ( abs ` ( F ` w ) ) _d w < e ) ) /\ ( ( y e. ( A [,] B ) /\ z e. ( A [,] B ) /\ y <_ z ) /\ ( abs ` ( z - y ) ) < d ) ) -> ( vol* ` ( y (,) z ) ) <_ ( z - y ) )
132	117, 116, 128	abssubge0d 14170	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ D /\ ( vol ` u ) < d ) -> S. u ( abs ` ( F ` w ) ) _d w < e ) ) /\ ( ( y e. ( A [,] B ) /\ z e. ( A [,] B ) /\ y <_ z ) /\ ( abs ` ( z - y ) ) < d ) ) -> ( abs ` ( z - y ) ) = ( z - y ) )
133		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ D /\ ( vol ` u ) < d ) -> S. u ( abs ` ( F ` w ) ) _d w < e ) ) /\ ( ( y e. ( A [,] B ) /\ z e. ( A [,] B ) /\ y <_ z ) /\ ( abs ` ( z - y ) ) < d ) ) -> ( abs ` ( z - y ) ) < d )
134	132, 133	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ D /\ ( vol ` u ) < d ) -> S. u ( abs ` ( F ` w ) ) _d w < e ) ) /\ ( ( y e. ( A [,] B ) /\ z e. ( A [,] B ) /\ y <_ z ) /\ ( abs ` ( z - y ) ) < d ) ) -> ( z - y ) < d )
135	115, 119, 122, 131, 134	xrlelttrd 11991	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ D /\ ( vol ` u ) < d ) -> S. u ( abs ` ( F ` w ) ) _d w < e ) ) /\ ( ( y e. ( A [,] B ) /\ z e. ( A [,] B ) /\ y <_ z ) /\ ( abs ` ( z - y ) ) < d ) ) -> ( vol* ` ( y (,) z ) ) < d )
136	112, 135	syl5eqbr 4688	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ D /\ ( vol ` u ) < d ) -> S. u ( abs ` ( F ` w ) ) _d w < e ) ) /\ ( ( y e. ( A [,] B ) /\ z e. ( A [,] B ) /\ y <_ z ) /\ ( abs ` ( z - y ) ) < d ) ) -> ( vol ` ( y (,) z ) ) < d )
137	90, 136	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ D /\ ( vol ` u ) < d ) -> S. u ( abs ` ( F ` w ) ) _d w < e ) ) /\ ( ( y e. ( A [,] B ) /\ z e. ( A [,] B ) /\ y <_ z ) /\ ( abs ` ( z - y ) ) < d ) ) -> ( ( y (,) z ) C_ D /\ ( vol ` ( y (,) z ) ) < d ) )
138		sseq1 3626	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( u = ( y (,) z ) -> ( u C_ D <-> ( y (,) z ) C_ D ) )
139		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( u = ( y (,) z ) -> ( vol ` u ) = ( vol ` ( y (,) z ) ) )
140	139	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( u = ( y (,) z ) -> ( ( vol ` u ) < d <-> ( vol ` ( y (,) z ) ) < d ) )
141	138, 140	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( u = ( y (,) z ) -> ( ( u C_ D /\ ( vol ` u ) < d ) <-> ( ( y (,) z ) C_ D /\ ( vol ` ( y (,) z ) ) < d ) ) )
142		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( w = t -> ( F ` w ) = ( F ` t ) )
143	142	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( w = t -> ( abs ` ( F ` w ) ) = ( abs ` ( F ` t ) ) )
144	143	cbvitgv 23543	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- S. u ( abs ` ( F ` w ) ) _d w = S. u ( abs ` ( F ` t ) ) _d t
145		itgeq1 23539	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( u = ( y (,) z ) -> S. u ( abs ` ( F ` t ) ) _d t = S. ( y (,) z ) ( abs ` ( F ` t ) ) _d t )
146	144, 145	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( u = ( y (,) z ) -> S. u ( abs ` ( F ` w ) ) _d w = S. ( y (,) z ) ( abs ` ( F ` t ) ) _d t )
147	146	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( u = ( y (,) z ) -> ( S. u ( abs ` ( F ` w ) ) _d w < e <-> S. ( y (,) z ) ( abs ` ( F ` t ) ) _d t < e ) )
148	141, 147	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u = ( y (,) z ) -> ( ( ( u C_ D /\ ( vol ` u ) < d ) -> S. u ( abs ` ( F ` w ) ) _d w < e ) <-> ( ( ( y (,) z ) C_ D /\ ( vol ` ( y (,) z ) ) < d ) -> S. ( y (,) z ) ( abs ` ( F ` t ) ) _d t < e ) ) )
149	148	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y (,) z ) e. dom vol -> ( A. u e. dom vol ( ( u C_ D /\ ( vol ` u ) < d ) -> S. u ( abs ` ( F ` w ) ) _d w < e ) -> ( ( ( y (,) z ) C_ D /\ ( vol ` ( y (,) z ) ) < d ) -> S. ( y (,) z ) ( abs ` ( F ` t ) ) _d t < e ) ) )
150	92, 110, 137, 149	syl3c 66	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ D /\ ( vol ` u ) < d ) -> S. u ( abs ` ( F ` w ) ) _d w < e ) ) /\ ( ( y e. ( A [,] B ) /\ z e. ( A [,] B ) /\ y <_ z ) /\ ( abs ` ( z - y ) ) < d ) ) -> S. ( y (,) z ) ( abs ` ( F ` t ) ) _d t < e )
151	99, 105, 108, 109, 150	lelttrd 10195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ D /\ ( vol ` u ) < d ) -> S. u ( abs ` ( F ` w ) ) _d w < e ) ) /\ ( ( y e. ( A [,] B ) /\ z e. ( A [,] B ) /\ y <_ z ) /\ ( abs ` ( z - y ) ) < d ) ) -> ( abs ` S. ( y (,) z ) ( F ` t ) _d t ) < e )
152	68, 151	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ D /\ ( vol ` u ) < d ) -> S. u ( abs ` ( F ` w ) ) _d w < e ) ) /\ ( ( y e. ( A [,] B ) /\ z e. ( A [,] B ) /\ y <_ z ) /\ ( abs ` ( z - y ) ) < d ) ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - ( G ` y ) ) ) < e )
153	152	expr 643	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ D /\ ( vol ` u ) < d ) -> S. u ( abs ` ( F ` w ) ) _d w < e ) ) /\ ( y e. ( A [,] B ) /\ z e. ( A [,] B ) /\ y <_ z ) ) -> ( ( abs ` ( z - y ) ) < d -> ( abs ` ( ( G ` z ) - ( G ` y ) ) ) < e ) )
154	25, 35, 38, 53, 153	wlogle 10561	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ D /\ ( vol ` u ) < d ) -> S. u ( abs ` ( F ` w ) ) _d w < e ) ) /\ ( y e. ( A [,] B ) /\ z e. ( A [,] B ) ) ) -> ( ( abs ` ( z - y ) ) < d -> ( abs ` ( ( G ` z ) - ( G ` y ) ) ) < e ) )
155	154	ralrimivva 2971	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ D /\ ( vol ` u ) < d ) -> S. u ( abs ` ( F ` w ) ) _d w < e ) ) -> A. y e. ( A [,] B ) A. z e. ( A [,] B ) ( ( abs ` ( z - y ) ) < d -> ( abs ` ( ( G ` z ) - ( G ` y ) ) ) < e ) )
156	155	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) -> ( A. u e. dom vol ( ( u C_ D /\ ( vol ` u ) < d ) -> S. u ( abs ` ( F ` w ) ) _d w < e ) -> A. y e. ( A [,] B ) A. z e. ( A [,] B ) ( ( abs ` ( z - y ) ) < d -> ( abs ` ( ( G ` z ) - ( G ` y ) ) ) < e ) ) )
157	156	anassrs 680	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) -> ( A. u e. dom vol ( ( u C_ D /\ ( vol ` u ) < d ) -> S. u ( abs ` ( F ` w ) ) _d w < e ) -> A. y e. ( A [,] B ) A. z e. ( A [,] B ) ( ( abs ` ( z - y ) ) < d -> ( abs ` ( ( G ` z ) - ( G ` y ) ) ) < e ) ) )
158	157	reximdva 3017	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( E. d e. RR+ A. u e. dom vol ( ( u C_ D /\ ( vol ` u ) < d ) -> S. u ( abs ` ( F ` w ) ) _d w < e ) -> E. d e. RR+ A. y e. ( A [,] B ) A. z e. ( A [,] B ) ( ( abs ` ( z - y ) ) < d -> ( abs ` ( ( G ` z ) - ( G ` y ) ) ) < e ) ) )
159	15, 158	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> E. d e. RR+ A. y e. ( A [,] B ) A. z e. ( A [,] B ) ( ( abs ` ( z - y ) ) < d -> ( abs ` ( ( G ` z ) - ( G ` y ) ) ) < e ) )
160		r19.12 3063	. . . . 5 |- ( E. d e. RR+ A. y e. ( A [,] B ) A. z e. ( A [,] B ) ( ( abs ` ( z - y ) ) < d -> ( abs ` ( ( G ` z ) - ( G ` y ) ) ) < e ) -> A. y e. ( A [,] B ) E. d e. RR+ A. z e. ( A [,] B ) ( ( abs ` ( z - y ) ) < d -> ( abs ` ( ( G ` z ) - ( G ` y ) ) ) < e ) )
161	159, 160	syl 17	. . . 4 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> A. y e. ( A [,] B ) E. d e. RR+ A. z e. ( A [,] B ) ( ( abs ` ( z - y ) ) < d -> ( abs ` ( ( G ` z ) - ( G ` y ) ) ) < e ) )
162	161	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( ph -> A. e e. RR+ A. y e. ( A [,] B ) E. d e. RR+ A. z e. ( A [,] B ) ( ( abs ` ( z - y ) ) < d -> ( abs ` ( ( G ` z ) - ( G ` y ) ) ) < e ) )
163		ralcom 3098	. . 3 |- ( A. e e. RR+ A. y e. ( A [,] B ) E. d e. RR+ A. z e. ( A [,] B ) ( ( abs ` ( z - y ) ) < d -> ( abs ` ( ( G ` z ) - ( G ` y ) ) ) < e ) <-> A. y e. ( A [,] B ) A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. ( A [,] B ) ( ( abs ` ( z - y ) ) < d -> ( abs ` ( ( G ` z ) - ( G ` y ) ) ) < e ) )
164	162, 163	sylib 208	. 2 |- ( ph -> A. y e. ( A [,] B ) A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. ( A [,] B ) ( ( abs ` ( z - y ) ) < d -> ( abs ` ( ( G ` z ) - ( G ` y ) ) ) < e ) )
165		ax-resscn 9993	. . . 4 |- RR C_ CC
166	37, 165	syl6ss 3615	. . 3 |- ( ph -> ( A [,] B ) C_ CC )
167		ssid 3624	. . 3 |- CC C_ CC
168		elcncf2 22693	. . 3 |- ( ( ( A [,] B ) C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( G e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) <-> ( G : ( A [,] B ) --> CC /\ A. y e. ( A [,] B ) A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. ( A [,] B ) ( ( abs ` ( z - y ) ) < d -> ( abs ` ( ( G ` z ) - ( G ` y ) ) ) < e ) ) ) )
169	166, 167, 168	sylancl 694	. 2 |- ( ph -> ( G e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) <-> ( G : ( A [,] B ) --> CC /\ A. y e. ( A [,] B ) A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. ( A [,] B ) ( ( abs ` ( z - y ) ) < d -> ( abs ` ( ( G ` z ) - ( G ` y ) ) ) < e ) ) ) )
170	9, 164, 169	mpbir2and 957	1 |- ( ph -> G e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   RR+crp 11832   (,)cioo 12175   [,]cicc 12178   abscabs 13974   -cn->ccncf 22679   vol*covol 23231   volcvol 23232  MblFncmbf 23383   L^1cibl 23386   S.citg 23387

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388  df-itg1 23389  df-itg2 23390  df-ibl 23391  df-itg 23392  df-0p 23437

This theorem is referenced by:  ftc2  23807