Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ntrneikb Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem ntrneikb 38392
Description: The interiors of disjoint sets are disjoint if and only if the neighborhoods of every point contain no disjoint sets. (Contributed by RP, 11-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ntrnei.o |- O = ( i e. _V , j e. _V |-> ( k e. ( ~P j ^m i ) |-> ( l e. j |-> { m e. i | l e. ( k ` m ) } ) ) )
ntrnei.f |- F = ( ~P B O B )
ntrnei.r |- ( ph -> I F N )
Assertion
Ref Expression
ntrneikb |- ( ph -> ( A. s e. ~P B A. t e. ~P B ( ( s i^i t ) = (/) -> ( ( I ` s ) i^i ( I ` t ) ) = (/) ) <-> A. x e. B A. s e. ~P B A. t e. ~P B ( ( s e. ( N ` x ) /\ t e. ( N ` x ) ) -> ( s i^i t ) =/= (/) ) ) )
Distinct variable groups:   B, i, j, k, l, m, s, t, x   k, I, l, m, x   ph, i, j, k, l, s, t, x
Allowed substitution hints:   ph( m)   F( x, t, i, j, k, m, s, l)   I( t, i, j, s)   N( x, t, i, j, k, m, s, l)   O( x, t, i, j, k, m, s, l)
Proof of Theorem ntrneikb
StepHypRef Expression
1 con34b 306 . . . . . . 7 |- ( ( ( x e. ( I ` s ) /\ x e. ( I ` t ) ) -> ( s i^i t ) =/= (/) ) <-> ( -. ( s i^i t ) =/= (/) -> -. ( x e. ( I ` s ) /\ x e. ( I ` t ) ) ) )
21albii 1747 . . . . . 6 |- ( A. x ( ( x e. ( I ` s ) /\ x e. ( I ` t ) ) -> ( s i^i t ) =/= (/) ) <-> A. x ( -. ( s i^i t ) =/= (/) -> -. ( x e. ( I ` s ) /\ x e. ( I ` t ) ) ) )
3 19.21v 1868 . . . . . 6 |- ( A. x ( -. ( s i^i t ) =/= (/) -> -. ( x e. ( I ` s ) /\ x e. ( I ` t ) ) ) <-> ( -. ( s i^i t ) =/= (/) -> A. x -. ( x e. ( I ` s ) /\ x e. ( I ` t ) ) ) )
4 nne 2798 . . . . . . 7 |- ( -. ( s i^i t ) =/= (/) <-> ( s i^i t ) = (/) )
5 elin 3796 . . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( ( I ` s ) i^i ( I ` t ) ) <-> ( x e. ( I ` s ) /\ x e. ( I ` t ) ) )
65imbi1i 339 . . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ( ( I ` s ) i^i ( I ` t ) ) -> x e. (/) ) <-> ( ( x e. ( I ` s ) /\ x e. ( I ` t ) ) -> x e. (/) ) )
7 noel 3919 . . . . . . . . . . 11 |- -. x e. (/)
8 imnot 355 . . . . . . . . . . 11 |- ( -. x e. (/) -> ( ( ( x e. ( I ` s ) /\ x e. ( I ` t ) ) -> x e. (/) ) <-> -. ( x e. ( I ` s ) /\ x e. ( I ` t ) ) ) )
97, 8ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. ( I ` s ) /\ x e. ( I ` t ) ) -> x e. (/) ) <-> -. ( x e. ( I ` s ) /\ x e. ( I ` t ) ) )
106, 9bitr2i 265 . . . . . . . . 9 |- ( -. ( x e. ( I ` s ) /\ x e. ( I ` t ) ) <-> ( x e. ( ( I ` s ) i^i ( I ` t ) ) -> x e. (/) ) )
1110albii 1747 . . . . . . . 8 |- ( A. x -. ( x e. ( I ` s ) /\ x e. ( I ` t ) ) <-> A. x ( x e. ( ( I ` s ) i^i ( I ` t ) ) -> x e. (/) ) )
12 dfss2 3591 . . . . . . . 8 |- ( ( ( I ` s ) i^i ( I ` t ) ) C_ (/) <-> A. x ( x e. ( ( I ` s ) i^i ( I ` t ) ) -> x e. (/) ) )
13 ss0b 3973 . . . . . . . 8 |- ( ( ( I ` s ) i^i ( I ` t ) ) C_ (/) <-> ( ( I ` s ) i^i ( I ` t ) ) = (/) )
1411, 12, 133bitr2i 288 . . . . . . 7 |- ( A. x -. ( x e. ( I ` s ) /\ x e. ( I ` t ) ) <-> ( ( I ` s ) i^i ( I ` t ) ) = (/) )
154, 14imbi12i 340 . . . . . 6 |- ( ( -. ( s i^i t ) =/= (/) -> A. x -. ( x e. ( I ` s ) /\ x e. ( I ` t ) ) ) <-> ( ( s i^i t ) = (/) -> ( ( I ` s ) i^i ( I ` t ) ) = (/) ) )
162, 3, 153bitrri 287 . . . . 5 |- ( ( ( s i^i t ) = (/) -> ( ( I ` s ) i^i ( I ` t ) ) = (/) ) <-> A. x ( ( x e. ( I ` s ) /\ x e. ( I ` t ) ) -> ( s i^i t ) =/= (/) ) )
17 ntrnei.o . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- O = ( i e. _V , j e. _V |-> ( k e. ( ~P j ^m i ) |-> ( l e. j |-> { m e. i | l e. ( k ` m ) } ) ) )
18 ntrnei.f . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F = ( ~P B O B )
19 ntrnei.r . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> I F N )
2017, 18, 19ntrneiiex 38374 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> I e. ( ~P B ^m ~P B ) )
21 elmapi 7879 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( I e. ( ~P B ^m ~P B ) -> I : ~P B --> ~P B )
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> I : ~P B --> ~P B )
2322ffvelrnda 6359 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ s e. ~P B ) -> ( I ` s ) e. ~P B )
2423adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) -> ( I ` s ) e. ~P B )
2524elpwid 4170 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) -> ( I ` s ) C_ B )
2625sseld 3602 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) -> ( x e. ( I ` s ) -> x e. B ) )
2726adantrd 484 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) -> ( ( x e. ( I ` s ) /\ x e. ( I ` t ) ) -> x e. B ) )
2827imp 445 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) /\ ( x e. ( I ` s ) /\ x e. ( I ` t ) ) ) -> x e. B )
29 biimt 350 . . . . . . . . . . 11 |- ( x e. B -> ( ( s i^i t ) =/= (/) <-> ( x e. B -> ( s i^i t ) =/= (/) ) ) )
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) /\ ( x e. ( I ` s ) /\ x e. ( I ` t ) ) ) -> ( ( s i^i t ) =/= (/) <-> ( x e. B -> ( s i^i t ) =/= (/) ) ) )
3130pm5.74da 723 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) -> ( ( ( x e. ( I ` s ) /\ x e. ( I ` t ) ) -> ( s i^i t ) =/= (/) ) <-> ( ( x e. ( I ` s ) /\ x e. ( I ` t ) ) -> ( x e. B -> ( s i^i t ) =/= (/) ) ) ) )
32 bi2.04 376 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ( I ` s ) /\ x e. ( I ` t ) ) -> ( x e. B -> ( s i^i t ) =/= (/) ) ) <-> ( x e. B -> ( ( x e. ( I ` s ) /\ x e. ( I ` t ) ) -> ( s i^i t ) =/= (/) ) ) )
3331, 32syl6bb 276 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) -> ( ( ( x e. ( I ` s ) /\ x e. ( I ` t ) ) -> ( s i^i t ) =/= (/) ) <-> ( x e. B -> ( ( x e. ( I ` s ) /\ x e. ( I ` t ) ) -> ( s i^i t ) =/= (/) ) ) ) )
3433albidv 1849 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) -> ( A. x ( ( x e. ( I ` s ) /\ x e. ( I ` t ) ) -> ( s i^i t ) =/= (/) ) <-> A. x ( x e. B -> ( ( x e. ( I ` s ) /\ x e. ( I ` t ) ) -> ( s i^i t ) =/= (/) ) ) ) )
35 df-ral 2917 . . . . . . 7 |- ( A. x e. B ( ( x e. ( I ` s ) /\ x e. ( I ` t ) ) -> ( s i^i t ) =/= (/) ) <-> A. x ( x e. B -> ( ( x e. ( I ` s ) /\ x e. ( I ` t ) ) -> ( s i^i t ) =/= (/) ) ) )
3634, 35syl6bbr 278 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) -> ( A. x ( ( x e. ( I ` s ) /\ x e. ( I ` t ) ) -> ( s i^i t ) =/= (/) ) <-> A. x e. B ( ( x e. ( I ` s ) /\ x e. ( I ` t ) ) -> ( s i^i t ) =/= (/) ) ) )
3719ad3antrrr 766 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) /\ x e. B ) -> I F N )
38 simpr 477 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) /\ x e. B ) -> x e. B )
39 simpllr 799 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) /\ x e. B ) -> s e. ~P B )
4017, 18, 37, 38, 39ntrneiel 38379 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) /\ x e. B ) -> ( x e. ( I ` s ) <-> s e. ( N ` x ) ) )
41 simplr 792 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) /\ x e. B ) -> t e. ~P B )
4217, 18, 37, 38, 41ntrneiel 38379 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) /\ x e. B ) -> ( x e. ( I ` t ) <-> t e. ( N ` x ) ) )
4340, 42anbi12d 747 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) /\ x e. B ) -> ( ( x e. ( I ` s ) /\ x e. ( I ` t ) ) <-> ( s e. ( N ` x ) /\ t e. ( N ` x ) ) ) )
4443imbi1d 331 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) /\ x e. B ) -> ( ( ( x e. ( I ` s ) /\ x e. ( I ` t ) ) -> ( s i^i t ) =/= (/) ) <-> ( ( s e. ( N ` x ) /\ t e. ( N ` x ) ) -> ( s i^i t ) =/= (/) ) ) )
4544ralbidva 2985 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) -> ( A. x e. B ( ( x e. ( I ` s ) /\ x e. ( I ` t ) ) -> ( s i^i t ) =/= (/) ) <-> A. x e. B ( ( s e. ( N ` x ) /\ t e. ( N ` x ) ) -> ( s i^i t ) =/= (/) ) ) )
4636, 45bitrd 268 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) -> ( A. x ( ( x e. ( I ` s ) /\ x e. ( I ` t ) ) -> ( s i^i t ) =/= (/) ) <-> A. x e. B ( ( s e. ( N ` x ) /\ t e. ( N ` x ) ) -> ( s i^i t ) =/= (/) ) ) )
4716, 46syl5bb 272 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) -> ( ( ( s i^i t ) = (/) -> ( ( I ` s ) i^i ( I ` t ) ) = (/) ) <-> A. x e. B ( ( s e. ( N ` x ) /\ t e. ( N ` x ) ) -> ( s i^i t ) =/= (/) ) ) )
4847ralbidva 2985 . . 3 |- ( ( ph /\ s e. ~P B ) -> ( A. t e. ~P B ( ( s i^i t ) = (/) -> ( ( I ` s ) i^i ( I ` t ) ) = (/) ) <-> A. t e. ~P B A. x e. B ( ( s e. ( N ` x ) /\ t e. ( N ` x ) ) -> ( s i^i t ) =/= (/) ) ) )
4948ralbidva 2985 . 2 |- ( ph -> ( A. s e. ~P B A. t e. ~P B ( ( s i^i t ) = (/) -> ( ( I ` s ) i^i ( I ` t ) ) = (/) ) <-> A. s e. ~P B A. t e. ~P B A. x e. B ( ( s e. ( N ` x ) /\ t e. ( N ` x ) ) -> ( s i^i t ) =/= (/) ) ) )
50 alrot3 2038 . . . 4 |- ( A. x A. s A. t ( ( x e. B /\ s e. ~P B /\ t e. ~P B ) -> ( ( s e. ( N ` x ) /\ t e. ( N ` x ) ) -> ( s i^i t ) =/= (/) ) ) <-> A. s A. t A. x ( ( x e. B /\ s e. ~P B /\ t e. ~P B ) -> ( ( s e. ( N ` x ) /\ t e. ( N ` x ) ) -> ( s i^i t ) =/= (/) ) ) )
51 3anrot 1043 . . . . . . 7 |- ( ( x e. B /\ s e. ~P B /\ t e. ~P B ) <-> ( s e. ~P B /\ t e. ~P B /\ x e. B ) )
5251imbi1i 339 . . . . . 6 |- ( ( ( x e. B /\ s e. ~P B /\ t e. ~P B ) -> ( ( s e. ( N ` x ) /\ t e. ( N ` x ) ) -> ( s i^i t ) =/= (/) ) ) <-> ( ( s e. ~P B /\ t e. ~P B /\ x e. B ) -> ( ( s e. ( N ` x ) /\ t e. ( N ` x ) ) -> ( s i^i t ) =/= (/) ) ) )
5352albii 1747 . . . . 5 |- ( A. x ( ( x e. B /\ s e. ~P B /\ t e. ~P B ) -> ( ( s e. ( N ` x ) /\ t e. ( N ` x ) ) -> ( s i^i t ) =/= (/) ) ) <-> A. x ( ( s e. ~P B /\ t e. ~P B /\ x e. B ) -> ( ( s e. ( N ` x ) /\ t e. ( N ` x ) ) -> ( s i^i t ) =/= (/) ) ) )
54532albii 1748 . . . 4 |- ( A. s A. t A. x ( ( x e. B /\ s e. ~P B /\ t e. ~P B ) -> ( ( s e. ( N ` x ) /\ t e. ( N ` x ) ) -> ( s i^i t ) =/= (/) ) ) <-> A. s A. t A. x ( ( s e. ~P B /\ t e. ~P B /\ x e. B ) -> ( ( s e. ( N ` x ) /\ t e. ( N ` x ) ) -> ( s i^i t ) =/= (/) ) ) )
5550, 54bitr2i 265 . . 3 |- ( A. s A. t A. x ( ( s e. ~P B /\ t e. ~P B /\ x e. B ) -> ( ( s e. ( N ` x ) /\ t e. ( N ` x ) ) -> ( s i^i t ) =/= (/) ) ) <-> A. x A. s A. t ( ( x e. B /\ s e. ~P B /\ t e. ~P B ) -> ( ( s e. ( N ` x ) /\ t e. ( N ` x ) ) -> ( s i^i t ) =/= (/) ) ) )
56 r3al 2940 . . 3 |- ( A. s e. ~P B A. t e. ~P B A. x e. B ( ( s e. ( N ` x ) /\ t e. ( N ` x ) ) -> ( s i^i t ) =/= (/) ) <-> A. s A. t A. x ( ( s e. ~P B /\ t e. ~P B /\ x e. B ) -> ( ( s e. ( N ` x ) /\ t e. ( N ` x ) ) -> ( s i^i t ) =/= (/) ) ) )
57 r3al 2940 . . 3 |- ( A. x e. B A. s e. ~P B A. t e. ~P B ( ( s e. ( N ` x ) /\ t e. ( N ` x ) ) -> ( s i^i t ) =/= (/) ) <-> A. x A. s A. t ( ( x e. B /\ s e. ~P B /\ t e. ~P B ) -> ( ( s e. ( N ` x ) /\ t e. ( N ` x ) ) -> ( s i^i t ) =/= (/) ) ) )
5855, 56, 573bitr4i 292 . 2 |- ( A. s e. ~P B A. t e. ~P B A. x e. B ( ( s e. ( N ` x ) /\ t e. ( N ` x ) ) -> ( s i^i t ) =/= (/) ) <-> A. x e. B A. s e. ~P B A. t e. ~P B ( ( s e. ( N ` x ) /\ t e. ( N ` x ) ) -> ( s i^i t ) =/= (/) ) )
5949, 58syl6bb 276 1 |- ( ph -> ( A. s e. ~P B A. t e. ~P B ( ( s i^i t ) = (/) -> ( ( I ` s ) i^i ( I ` t ) ) = (/) ) <-> A. x e. B A. s e. ~P B A. t e. ~P B ( ( s e. ( N ` x ) /\ t e. ( N ` x ) ) -> ( s i^i t ) =/= (/) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   A.wal 1481   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   ^m cmap 7857
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-map 7859
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator