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Theorem ntrneixb 38393
Description: The interiors (closures) of sets that span the base set also span the base set if and only if the neighborhoods (convergents) of every point contain at least one of every pair of sets that span the base set. (Contributed by RP, 11-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ntrnei.o |- O = ( i e. _V , j e. _V |-> ( k e. ( ~P j ^m i ) |-> ( l e. j |-> { m e. i | l e. ( k ` m ) } ) ) )
ntrnei.f |- F = ( ~P B O B )
ntrnei.r |- ( ph -> I F N )
Assertion
Ref Expression
ntrneixb |- ( ph -> ( A. s e. ~P B A. t e. ~P B ( ( s u. t ) = B -> ( ( I ` s ) u. ( I ` t ) ) = B ) <-> A. x e. B A. s e. ~P B A. t e. ~P B ( ( s u. t ) = B -> ( s e. ( N ` x ) \/ t e. ( N ` x ) ) ) ) )
Distinct variable groups:   B, i, j, k, l, m, s, t, x   k, I, l, m, x   ph, i, j, k, l, s, t, x
Allowed substitution hints:   ph( m)   F( x, t, i, j, k, m, s, l)   I( t, i, j, s)   N( x, t, i, j, k, m, s, l)   O( x, t, i, j, k, m, s, l)
Proof of Theorem ntrneixb
StepHypRef Expression
1 eqss 3618 . . . . . . . 8 |- ( ( ( I ` s ) u. ( I ` t ) ) = B <-> ( ( ( I ` s ) u. ( I ` t ) ) C_ B /\ B C_ ( ( I ` s ) u. ( I ` t ) ) ) )
21a1i 11 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) -> ( ( ( I ` s ) u. ( I ` t ) ) = B <-> ( ( ( I ` s ) u. ( I ` t ) ) C_ B /\ B C_ ( ( I ` s ) u. ( I ` t ) ) ) ) )
3 ntrnei.o . . . . . . . . . . . . . 14 |- O = ( i e. _V , j e. _V |-> ( k e. ( ~P j ^m i ) |-> ( l e. j |-> { m e. i | l e. ( k ` m ) } ) ) )
4 ntrnei.f . . . . . . . . . . . . . 14 |- F = ( ~P B O B )
5 ntrnei.r . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> I F N )
63, 4, 5ntrneiiex 38374 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> I e. ( ~P B ^m ~P B ) )
7 elmapi 7879 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( I e. ( ~P B ^m ~P B ) -> I : ~P B --> ~P B )
86, 7syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> I : ~P B --> ~P B )
98ffvelrnda 6359 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ~P B ) -> ( I ` s ) e. ~P B )
109elpwid 4170 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ~P B ) -> ( I ` s ) C_ B )
1110adantr 481 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) -> ( I ` s ) C_ B )
128ffvelrnda 6359 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ t e. ~P B ) -> ( I ` t ) e. ~P B )
1312elpwid 4170 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. ~P B ) -> ( I ` t ) C_ B )
1413adantlr 751 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) -> ( I ` t ) C_ B )
1511, 14unssd 3789 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) -> ( ( I ` s ) u. ( I ` t ) ) C_ B )
1615biantrurd 529 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) -> ( B C_ ( ( I ` s ) u. ( I ` t ) ) <-> ( ( ( I ` s ) u. ( I ` t ) ) C_ B /\ B C_ ( ( I ` s ) u. ( I ` t ) ) ) ) )
17 dfss3 3592 . . . . . . . . 9 |- ( B C_ ( ( I ` s ) u. ( I ` t ) ) <-> A. x e. B x e. ( ( I ` s ) u. ( I ` t ) ) )
18 elun 3753 . . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( ( I ` s ) u. ( I ` t ) ) <-> ( x e. ( I ` s ) \/ x e. ( I ` t ) ) )
1918ralbii 2980 . . . . . . . . 9 |- ( A. x e. B x e. ( ( I ` s ) u. ( I ` t ) ) <-> A. x e. B ( x e. ( I ` s ) \/ x e. ( I ` t ) ) )
2017, 19bitri 264 . . . . . . . 8 |- ( B C_ ( ( I ` s ) u. ( I ` t ) ) <-> A. x e. B ( x e. ( I ` s ) \/ x e. ( I ` t ) ) )
2120a1i 11 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) -> ( B C_ ( ( I ` s ) u. ( I ` t ) ) <-> A. x e. B ( x e. ( I ` s ) \/ x e. ( I ` t ) ) ) )
222, 16, 213bitr2d 296 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) -> ( ( ( I ` s ) u. ( I ` t ) ) = B <-> A. x e. B ( x e. ( I ` s ) \/ x e. ( I ` t ) ) ) )
2322imbi2d 330 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) -> ( ( ( s u. t ) = B -> ( ( I ` s ) u. ( I ` t ) ) = B ) <-> ( ( s u. t ) = B -> A. x e. B ( x e. ( I ` s ) \/ x e. ( I ` t ) ) ) ) )
24 r19.21v 2960 . . . . . 6 |- ( A. x e. B ( ( s u. t ) = B -> ( x e. ( I ` s ) \/ x e. ( I ` t ) ) ) <-> ( ( s u. t ) = B -> A. x e. B ( x e. ( I ` s ) \/ x e. ( I ` t ) ) ) )
2524a1i 11 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) -> ( A. x e. B ( ( s u. t ) = B -> ( x e. ( I ` s ) \/ x e. ( I ` t ) ) ) <-> ( ( s u. t ) = B -> A. x e. B ( x e. ( I ` s ) \/ x e. ( I ` t ) ) ) ) )
265ad3antrrr 766 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) /\ x e. B ) -> I F N )
27 simpr 477 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) /\ x e. B ) -> x e. B )
28 simpllr 799 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) /\ x e. B ) -> s e. ~P B )
293, 4, 26, 27, 28ntrneiel 38379 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) /\ x e. B ) -> ( x e. ( I ` s ) <-> s e. ( N ` x ) ) )
30 simplr 792 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) /\ x e. B ) -> t e. ~P B )
313, 4, 26, 27, 30ntrneiel 38379 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) /\ x e. B ) -> ( x e. ( I ` t ) <-> t e. ( N ` x ) ) )
3229, 31orbi12d 746 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) /\ x e. B ) -> ( ( x e. ( I ` s ) \/ x e. ( I ` t ) ) <-> ( s e. ( N ` x ) \/ t e. ( N ` x ) ) ) )
3332imbi2d 330 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) /\ x e. B ) -> ( ( ( s u. t ) = B -> ( x e. ( I ` s ) \/ x e. ( I ` t ) ) ) <-> ( ( s u. t ) = B -> ( s e. ( N ` x ) \/ t e. ( N ` x ) ) ) ) )
3433ralbidva 2985 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) -> ( A. x e. B ( ( s u. t ) = B -> ( x e. ( I ` s ) \/ x e. ( I ` t ) ) ) <-> A. x e. B ( ( s u. t ) = B -> ( s e. ( N ` x ) \/ t e. ( N ` x ) ) ) ) )
3523, 25, 343bitr2d 296 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) -> ( ( ( s u. t ) = B -> ( ( I ` s ) u. ( I ` t ) ) = B ) <-> A. x e. B ( ( s u. t ) = B -> ( s e. ( N ` x ) \/ t e. ( N ` x ) ) ) ) )
3635ralbidva 2985 . . 3 |- ( ( ph /\ s e. ~P B ) -> ( A. t e. ~P B ( ( s u. t ) = B -> ( ( I ` s ) u. ( I ` t ) ) = B ) <-> A. t e. ~P B A. x e. B ( ( s u. t ) = B -> ( s e. ( N ` x ) \/ t e. ( N ` x ) ) ) ) )
3736ralbidva 2985 . 2 |- ( ph -> ( A. s e. ~P B A. t e. ~P B ( ( s u. t ) = B -> ( ( I ` s ) u. ( I ` t ) ) = B ) <-> A. s e. ~P B A. t e. ~P B A. x e. B ( ( s u. t ) = B -> ( s e. ( N ` x ) \/ t e. ( N ` x ) ) ) ) )
38 alrot3 2038 . . . 4 |- ( A. x A. s A. t ( ( x e. B /\ s e. ~P B /\ t e. ~P B ) -> ( ( s u. t ) = B -> ( s e. ( N ` x ) \/ t e. ( N ` x ) ) ) ) <-> A. s A. t A. x ( ( x e. B /\ s e. ~P B /\ t e. ~P B ) -> ( ( s u. t ) = B -> ( s e. ( N ` x ) \/ t e. ( N ` x ) ) ) ) )
39 3anrot 1043 . . . . . . 7 |- ( ( x e. B /\ s e. ~P B /\ t e. ~P B ) <-> ( s e. ~P B /\ t e. ~P B /\ x e. B ) )
4039imbi1i 339 . . . . . 6 |- ( ( ( x e. B /\ s e. ~P B /\ t e. ~P B ) -> ( ( s u. t ) = B -> ( s e. ( N ` x ) \/ t e. ( N ` x ) ) ) ) <-> ( ( s e. ~P B /\ t e. ~P B /\ x e. B ) -> ( ( s u. t ) = B -> ( s e. ( N ` x ) \/ t e. ( N ` x ) ) ) ) )
4140albii 1747 . . . . 5 |- ( A. x ( ( x e. B /\ s e. ~P B /\ t e. ~P B ) -> ( ( s u. t ) = B -> ( s e. ( N ` x ) \/ t e. ( N ` x ) ) ) ) <-> A. x ( ( s e. ~P B /\ t e. ~P B /\ x e. B ) -> ( ( s u. t ) = B -> ( s e. ( N ` x ) \/ t e. ( N ` x ) ) ) ) )
42412albii 1748 . . . 4 |- ( A. s A. t A. x ( ( x e. B /\ s e. ~P B /\ t e. ~P B ) -> ( ( s u. t ) = B -> ( s e. ( N ` x ) \/ t e. ( N ` x ) ) ) ) <-> A. s A. t A. x ( ( s e. ~P B /\ t e. ~P B /\ x e. B ) -> ( ( s u. t ) = B -> ( s e. ( N ` x ) \/ t e. ( N ` x ) ) ) ) )
4338, 42bitr2i 265 . . 3 |- ( A. s A. t A. x ( ( s e. ~P B /\ t e. ~P B /\ x e. B ) -> ( ( s u. t ) = B -> ( s e. ( N ` x ) \/ t e. ( N ` x ) ) ) ) <-> A. x A. s A. t ( ( x e. B /\ s e. ~P B /\ t e. ~P B ) -> ( ( s u. t ) = B -> ( s e. ( N ` x ) \/ t e. ( N ` x ) ) ) ) )
44 r3al 2940 . . 3 |- ( A. s e. ~P B A. t e. ~P B A. x e. B ( ( s u. t ) = B -> ( s e. ( N ` x ) \/ t e. ( N ` x ) ) ) <-> A. s A. t A. x ( ( s e. ~P B /\ t e. ~P B /\ x e. B ) -> ( ( s u. t ) = B -> ( s e. ( N ` x ) \/ t e. ( N ` x ) ) ) ) )
45 r3al 2940 . . 3 |- ( A. x e. B A. s e. ~P B A. t e. ~P B ( ( s u. t ) = B -> ( s e. ( N ` x ) \/ t e. ( N ` x ) ) ) <-> A. x A. s A. t ( ( x e. B /\ s e. ~P B /\ t e. ~P B ) -> ( ( s u. t ) = B -> ( s e. ( N ` x ) \/ t e. ( N ` x ) ) ) ) )
4643, 44, 453bitr4i 292 . 2 |- ( A. s e. ~P B A. t e. ~P B A. x e. B ( ( s u. t ) = B -> ( s e. ( N ` x ) \/ t e. ( N ` x ) ) ) <-> A. x e. B A. s e. ~P B A. t e. ~P B ( ( s u. t ) = B -> ( s e. ( N ` x ) \/ t e. ( N ` x ) ) ) )
4737, 46syl6bb 276 1 |- ( ph -> ( A. s e. ~P B A. t e. ~P B ( ( s u. t ) = B -> ( ( I ` s ) u. ( I ` t ) ) = B ) <-> A. x e. B A. s e. ~P B A. t e. ~P B ( ( s u. t ) = B -> ( s e. ( N ` x ) \/ t e. ( N ` x ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   A.wal 1481   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   u. cun 3572   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   ^m cmap 7857
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-map 7859
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