Theorem dfwe2 6981

Description: Alternate definition of well-ordering. Definition 6.24(2) of [TakeutiZaring] p. 30. (Contributed by NM, 16-Mar-1997.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 12-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dfwe2	|- ( R We A <-> ( R Fr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y \/ x = y \/ y R x ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, R   x, A, y

Proof of Theorem dfwe2

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-we 5075	. 2 |- ( R We A <-> ( R Fr A /\ R Or A ) )
2		df-so 5036	. . . 4 |- ( R Or A <-> ( R Po A /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y \/ x = y \/ y R x ) ) )
3		simpr 477	. . . . 5 |- ( ( R Po A /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y \/ x = y \/ y R x ) ) -> A. x e. A A. y e. A ( x R y \/ x = y \/ y R x ) )
4		ax-1 6	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x R z -> ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) )
5	4	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R Fr A /\ ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) ) -> ( x R z -> ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) )
6		fr2nr 5092	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R Fr A /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> -. ( x R y /\ y R x ) )
7	6	3adantr3 1222	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( R Fr A /\ ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) ) -> -. ( x R y /\ y R x ) )
8		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = z -> ( y R x <-> y R z ) )
9	8	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = z -> ( ( x R y /\ y R x ) <-> ( x R y /\ y R z ) ) )
10	9	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = z -> ( -. ( x R y /\ y R x ) <-> -. ( x R y /\ y R z ) ) )
11	7, 10	syl5ibcom 235	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( R Fr A /\ ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) ) -> ( x = z -> -. ( x R y /\ y R z ) ) )
12		pm2.21 120	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. ( x R y /\ y R z ) -> ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) )
13	11, 12	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R Fr A /\ ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) ) -> ( x = z -> ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) )
14		fr3nr 6979	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R Fr A /\ ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) ) -> -. ( x R y /\ y R z /\ z R x ) )
15		df-3an 1039	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x R y /\ y R z /\ z R x ) <-> ( ( x R y /\ y R z ) /\ z R x ) )
16	15	biimpri 218	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( x R y /\ y R z ) /\ z R x ) -> ( x R y /\ y R z /\ z R x ) )
17	16	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( z R x /\ ( x R y /\ y R z ) ) -> ( x R y /\ y R z /\ z R x ) )
18	14, 17	nsyl 135	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( R Fr A /\ ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) ) -> -. ( z R x /\ ( x R y /\ y R z ) ) )
19	18	pm2.21d 118	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( R Fr A /\ ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) ) -> ( ( z R x /\ ( x R y /\ y R z ) ) -> x R z ) )
20	19	expd 452	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R Fr A /\ ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) ) -> ( z R x -> ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) )
21	5, 13, 20	3jaod 1392	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R Fr A /\ ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) ) -> ( ( x R z \/ x = z \/ z R x ) -> ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) )
22		frirr 5091	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R Fr A /\ x e. A ) -> -. x R x )
23	22	3ad2antr1 1226	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R Fr A /\ ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) ) -> -. x R x )
24	21, 23	jctild 566	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R Fr A /\ ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) ) -> ( ( x R z \/ x = z \/ z R x ) -> ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) ) )
25	24	ex 450	. . . . . . . . . . 11 |- ( R Fr A -> ( ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) -> ( ( x R z \/ x = z \/ z R x ) -> ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) ) ) )
26	25	a2d 29	. . . . . . . . . 10 |- ( R Fr A -> ( ( ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) -> ( x R z \/ x = z \/ z R x ) ) -> ( ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) -> ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) ) ) )
27	26	alimdv 1845	. . . . . . . . 9 |- ( R Fr A -> ( A. z ( ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) -> ( x R z \/ x = z \/ z R x ) ) -> A. z ( ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) -> ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) ) ) )
28	27	2alimdv 1847	. . . . . . . 8 |- ( R Fr A -> ( A. x A. y A. z ( ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) -> ( x R z \/ x = z \/ z R x ) ) -> A. x A. y A. z ( ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) -> ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) ) ) )
29		r3al 2940	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( x R z \/ x = z \/ z R x ) <-> A. x A. y A. z ( ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) -> ( x R z \/ x = z \/ z R x ) ) )
30		r3al 2940	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) <-> A. x A. y A. z ( ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) -> ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) ) )
31	28, 29, 30	3imtr4g 285	. . . . . . 7 |- ( R Fr A -> ( A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( x R z \/ x = z \/ z R x ) -> A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) ) )
32		ralidm 4075	. . . . . . . . 9 |- ( A. y e. A A. y e. A ( x R y \/ x = y \/ y R x ) <-> A. y e. A ( x R y \/ x = y \/ y R x ) )
33		breq2 4657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = z -> ( x R y <-> x R z ) )
34		equequ2 1953	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = z -> ( x = y <-> x = z ) )
35		breq1 4656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = z -> ( y R x <-> z R x ) )
36	33, 34, 35	3orbi123d 1398	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = z -> ( ( x R y \/ x = y \/ y R x ) <-> ( x R z \/ x = z \/ z R x ) ) )
37	36	cbvralv 3171	. . . . . . . . . 10 |- ( A. y e. A ( x R y \/ x = y \/ y R x ) <-> A. z e. A ( x R z \/ x = z \/ z R x ) )
38	37	ralbii 2980	. . . . . . . . 9 |- ( A. y e. A A. y e. A ( x R y \/ x = y \/ y R x ) <-> A. y e. A A. z e. A ( x R z \/ x = z \/ z R x ) )
39	32, 38	bitr3i 266	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. A ( x R y \/ x = y \/ y R x ) <-> A. y e. A A. z e. A ( x R z \/ x = z \/ z R x ) )
40	39	ralbii 2980	. . . . . . 7 |- ( A. x e. A A. y e. A ( x R y \/ x = y \/ y R x ) <-> A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( x R z \/ x = z \/ z R x ) )
41		df-po 5035	. . . . . . 7 |- ( R Po A <-> A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) )
42	31, 40, 41	3imtr4g 285	. . . . . 6 |- ( R Fr A -> ( A. x e. A A. y e. A ( x R y \/ x = y \/ y R x ) -> R Po A ) )
43	42	ancrd 577	. . . . 5 |- ( R Fr A -> ( A. x e. A A. y e. A ( x R y \/ x = y \/ y R x ) -> ( R Po A /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y \/ x = y \/ y R x ) ) ) )
44	3, 43	impbid2 216	. . . 4 |- ( R Fr A -> ( ( R Po A /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y \/ x = y \/ y R x ) ) <-> A. x e. A A. y e. A ( x R y \/ x = y \/ y R x ) ) )
45	2, 44	syl5bb 272	. . 3 |- ( R Fr A -> ( R Or A <-> A. x e. A A. y e. A ( x R y \/ x = y \/ y R x ) ) )
46	45	pm5.32i 669	. 2 |- ( ( R Fr A /\ R Or A ) <-> ( R Fr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y \/ x = y \/ y R x ) ) )
47	1, 46	bitri 264	1 |- ( R We A <-> ( R Fr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y \/ x = y \/ y R x ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   \/ w3o 1036   /\ w3a 1037   A.wal 1481   e. wcel 1990   A.wral 2912   class class class wbr 4653   Po wpo 5033   Or wor 5034   Fr wfr 5070   We wwe 5072

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075

This theorem is referenced by:  ordon  6982  f1oweALT  7152  dford2  8517  fpwwe2lem12  9463  fpwwe2lem13  9464  dfon2  31697  fnwe2  37623