Theorem relcnveq2 34094

Description: Two ways of saying a relation is symmetric. (Contributed by Peter Mazsa, 28-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
relcnveq2	|- ( Rel R -> ( `' R = R <-> A. x A. y ( x R y <-> y R x ) ) )

Distinct variable group:   x, R, y

Proof of Theorem relcnveq2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvsym 5510	. . . 4 |- ( `' R C_ R <-> A. x A. y ( x R y -> y R x ) )
2	1	a1i 11	. . 3 |- ( Rel R -> ( `' R C_ R <-> A. x A. y ( x R y -> y R x ) ) )
3		cnvsym 5510	. . . . 5 |- ( `' `' R C_ `' R <-> A. x A. y ( x `' R y -> y `' R x ) )
4		dfrel2 5583	. . . . . . 7 |- ( Rel R <-> `' `' R = R )
5	4	biimpi 206	. . . . . 6 |- ( Rel R -> `' `' R = R )
6	5	sseq1d 3632	. . . . 5 |- ( Rel R -> ( `' `' R C_ `' R <-> R C_ `' R ) )
7	3, 6	syl5rbbr 275	. . . 4 |- ( Rel R -> ( R C_ `' R <-> A. x A. y ( x `' R y -> y `' R x ) ) )
8		relbrcnvg 5504	. . . . . 6 |- ( Rel R -> ( x `' R y <-> y R x ) )
9		relbrcnvg 5504	. . . . . 6 |- ( Rel R -> ( y `' R x <-> x R y ) )
10	8, 9	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( Rel R -> ( ( x `' R y -> y `' R x ) <-> ( y R x -> x R y ) ) )
11	10	2albidv 1851	. . . 4 |- ( Rel R -> ( A. x A. y ( x `' R y -> y `' R x ) <-> A. x A. y ( y R x -> x R y ) ) )
12	7, 11	bitrd 268	. . 3 |- ( Rel R -> ( R C_ `' R <-> A. x A. y ( y R x -> x R y ) ) )
13	2, 12	anbi12d 747	. 2 |- ( Rel R -> ( ( `' R C_ R /\ R C_ `' R ) <-> ( A. x A. y ( x R y -> y R x ) /\ A. x A. y ( y R x -> x R y ) ) ) )
14		eqss 3618	. 2 |- ( `' R = R <-> ( `' R C_ R /\ R C_ `' R ) )
15		2albiim 1817	. 2 |- ( A. x A. y ( x R y <-> y R x ) <-> ( A. x A. y ( x R y -> y R x ) /\ A. x A. y ( y R x -> x R y ) ) )
16	13, 14, 15	3bitr4g 303	1 |- ( Rel R -> ( `' R = R <-> A. x A. y ( x R y <-> y R x ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wal 1481   = wceq 1483   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   `'ccnv 5113   Rel wrel 5119

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-br 4654  df-opab 4713  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122

This theorem is referenced by:  relcnveq4  34095