Theorem reu6 3395

Description: A way to express restricted uniqueness. (Contributed by NM, 20-Oct-2006.)

Assertion

Ref	Expression
reu6	|- ( E! x e. A ph <-> E. y e. A A. x e. A ( ph <-> x = y ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   ph, y

Allowed substitution hint:   ph( x)

Proof of Theorem reu6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-reu 2919	. 2 |- ( E! x e. A ph <-> E! x ( x e. A /\ ph ) )
2		19.28v 1909	. . . . 5 |- ( A. x ( y e. A /\ ( x e. A -> ( ph <-> x = y ) ) ) <-> ( y e. A /\ A. x ( x e. A -> ( ph <-> x = y ) ) ) )
3		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> ( x e. A <-> y e. A ) )
4		sbequ12 2111	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> ( ph <-> [ y / x ] ph ) )
5	3, 4	anbi12d 747	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( ( x e. A /\ ph ) <-> ( y e. A /\ [ y / x ] ph ) ) )
6		equequ1 1952	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( x = y <-> y = y ) )
7	5, 6	bibi12d 335	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( ( ( x e. A /\ ph ) <-> x = y ) <-> ( ( y e. A /\ [ y / x ] ph ) <-> y = y ) ) )
8		equid 1939	. . . . . . . . . . . 12 |- y = y
9	8	tbt 359	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. A /\ [ y / x ] ph ) <-> ( ( y e. A /\ [ y / x ] ph ) <-> y = y ) )
10		simpl 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. A /\ [ y / x ] ph ) -> y e. A )
11	9, 10	sylbir 225	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. A /\ [ y / x ] ph ) <-> y = y ) -> y e. A )
12	7, 11	syl6bi 243	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( ( ( x e. A /\ ph ) <-> x = y ) -> y e. A ) )
13	12	spimv 2257	. . . . . . . 8 |- ( A. x ( ( x e. A /\ ph ) <-> x = y ) -> y e. A )
14		ibar 525	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. A -> ( ph <-> ( x e. A /\ ph ) ) )
15	14	bibi1d 333	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. A -> ( ( ph <-> x = y ) <-> ( ( x e. A /\ ph ) <-> x = y ) ) )
16	15	biimprcd 240	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. A /\ ph ) <-> x = y ) -> ( x e. A -> ( ph <-> x = y ) ) )
17	16	sps 2055	. . . . . . . 8 |- ( A. x ( ( x e. A /\ ph ) <-> x = y ) -> ( x e. A -> ( ph <-> x = y ) ) )
18	13, 17	jca 554	. . . . . . 7 |- ( A. x ( ( x e. A /\ ph ) <-> x = y ) -> ( y e. A /\ ( x e. A -> ( ph <-> x = y ) ) ) )
19	18	axc4i 2131	. . . . . 6 |- ( A. x ( ( x e. A /\ ph ) <-> x = y ) -> A. x ( y e. A /\ ( x e. A -> ( ph <-> x = y ) ) ) )
20		biimp 205	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph <-> x = y ) -> ( ph -> x = y ) )
21	20	imim2i 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. A -> ( ph <-> x = y ) ) -> ( x e. A -> ( ph -> x = y ) ) )
22	21	impd 447	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. A -> ( ph <-> x = y ) ) -> ( ( x e. A /\ ph ) -> x = y ) )
23	22	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. A /\ ( x e. A -> ( ph <-> x = y ) ) ) -> ( ( x e. A /\ ph ) -> x = y ) )
24		eleq1a 2696	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. A -> ( x = y -> x e. A ) )
25	24	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. A /\ ( x e. A -> ( ph <-> x = y ) ) ) -> ( x = y -> x e. A ) )
26	25	imp 445	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. A /\ ( x e. A -> ( ph <-> x = y ) ) ) /\ x = y ) -> x e. A )
27		biimpr 210	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph <-> x = y ) -> ( x = y -> ph ) )
28	27	imim2i 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. A -> ( ph <-> x = y ) ) -> ( x e. A -> ( x = y -> ph ) ) )
29	28	com23 86	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. A -> ( ph <-> x = y ) ) -> ( x = y -> ( x e. A -> ph ) ) )
30	29	imp 445	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. A -> ( ph <-> x = y ) ) /\ x = y ) -> ( x e. A -> ph ) )
31	30	adantll 750	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. A /\ ( x e. A -> ( ph <-> x = y ) ) ) /\ x = y ) -> ( x e. A -> ph ) )
32	26, 31	jcai 559	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. A /\ ( x e. A -> ( ph <-> x = y ) ) ) /\ x = y ) -> ( x e. A /\ ph ) )
33	32	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. A /\ ( x e. A -> ( ph <-> x = y ) ) ) -> ( x = y -> ( x e. A /\ ph ) ) )
34	23, 33	impbid 202	. . . . . . 7 |- ( ( y e. A /\ ( x e. A -> ( ph <-> x = y ) ) ) -> ( ( x e. A /\ ph ) <-> x = y ) )
35	34	alimi 1739	. . . . . 6 |- ( A. x ( y e. A /\ ( x e. A -> ( ph <-> x = y ) ) ) -> A. x ( ( x e. A /\ ph ) <-> x = y ) )
36	19, 35	impbii 199	. . . . 5 |- ( A. x ( ( x e. A /\ ph ) <-> x = y ) <-> A. x ( y e. A /\ ( x e. A -> ( ph <-> x = y ) ) ) )
37		df-ral 2917	. . . . . 6 |- ( A. x e. A ( ph <-> x = y ) <-> A. x ( x e. A -> ( ph <-> x = y ) ) )
38	37	anbi2i 730	. . . . 5 |- ( ( y e. A /\ A. x e. A ( ph <-> x = y ) ) <-> ( y e. A /\ A. x ( x e. A -> ( ph <-> x = y ) ) ) )
39	2, 36, 38	3bitr4i 292	. . . 4 |- ( A. x ( ( x e. A /\ ph ) <-> x = y ) <-> ( y e. A /\ A. x e. A ( ph <-> x = y ) ) )
40	39	exbii 1774	. . 3 |- ( E. y A. x ( ( x e. A /\ ph ) <-> x = y ) <-> E. y ( y e. A /\ A. x e. A ( ph <-> x = y ) ) )
41		df-eu 2474	. . 3 |- ( E! x ( x e. A /\ ph ) <-> E. y A. x ( ( x e. A /\ ph ) <-> x = y ) )
42		df-rex 2918	. . 3 |- ( E. y e. A A. x e. A ( ph <-> x = y ) <-> E. y ( y e. A /\ A. x e. A ( ph <-> x = y ) ) )
43	40, 41, 42	3bitr4i 292	. 2 |- ( E! x ( x e. A /\ ph ) <-> E. y e. A A. x e. A ( ph <-> x = y ) )
44	1, 43	bitri 264	1 |- ( E! x e. A ph <-> E. y e. A A. x e. A ( ph <-> x = y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wal 1481   E.wex 1704   [wsb 1880   e. wcel 1990   E!weu 2470   A.wral 2912   E.wrex 2913   E!wreu 2914

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919

This theorem is referenced by:  reu3  3396  reu6i  3397  reu8  3402  xpf1o  8122  ufileu  21723  isppw2  24841  cusgrfilem2  26352  fgreu  29471  fcnvgreu  29472  fourierdlem50  40373