Theorem reuun2 3910

Description: Transfer uniqueness to a smaller or larger class. (Contributed by NM, 21-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
reuun2	|- ( -. E. x e. B ph -> ( E! x e. ( A u. B ) ph <-> E! x e. A ph ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Allowed substitution hint:   ph( x)

Proof of Theorem reuun2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rex 2918	. . 3 |- ( E. x e. B ph <-> E. x ( x e. B /\ ph ) )
2		euor2 2514	. . 3 |- ( -. E. x ( x e. B /\ ph ) -> ( E! x ( ( x e. B /\ ph ) \/ ( x e. A /\ ph ) ) <-> E! x ( x e. A /\ ph ) ) )
3	1, 2	sylnbi 320	. 2 |- ( -. E. x e. B ph -> ( E! x ( ( x e. B /\ ph ) \/ ( x e. A /\ ph ) ) <-> E! x ( x e. A /\ ph ) ) )
4		df-reu 2919	. . 3 |- ( E! x e. ( A u. B ) ph <-> E! x ( x e. ( A u. B ) /\ ph ) )
5		elun 3753	. . . . . 6 |- ( x e. ( A u. B ) <-> ( x e. A \/ x e. B ) )
6	5	anbi1i 731	. . . . 5 |- ( ( x e. ( A u. B ) /\ ph ) <-> ( ( x e. A \/ x e. B ) /\ ph ) )
7		andir 912	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. A \/ x e. B ) /\ ph ) <-> ( ( x e. A /\ ph ) \/ ( x e. B /\ ph ) ) )
8		orcom 402	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. A /\ ph ) \/ ( x e. B /\ ph ) ) <-> ( ( x e. B /\ ph ) \/ ( x e. A /\ ph ) ) )
9	7, 8	bitri 264	. . . . 5 |- ( ( ( x e. A \/ x e. B ) /\ ph ) <-> ( ( x e. B /\ ph ) \/ ( x e. A /\ ph ) ) )
10	6, 9	bitri 264	. . . 4 |- ( ( x e. ( A u. B ) /\ ph ) <-> ( ( x e. B /\ ph ) \/ ( x e. A /\ ph ) ) )
11	10	eubii 2492	. . 3 |- ( E! x ( x e. ( A u. B ) /\ ph ) <-> E! x ( ( x e. B /\ ph ) \/ ( x e. A /\ ph ) ) )
12	4, 11	bitri 264	. 2 |- ( E! x e. ( A u. B ) ph <-> E! x ( ( x e. B /\ ph ) \/ ( x e. A /\ ph ) ) )
13		df-reu 2919	. 2 |- ( E! x e. A ph <-> E! x ( x e. A /\ ph ) )
14	3, 12, 13	3bitr4g 303	1 |- ( -. E. x e. B ph -> ( E! x e. ( A u. B ) ph <-> E! x e. A ph ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   E.wex 1704   e. wcel 1990   E!weu 2470   E.wrex 2913   E!wreu 2914   u. cun 3572

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-rex 2918  df-reu 2919  df-v 3202  df-un 3579

This theorem is referenced by:  hdmap14lem4a  37163