Theorem rp-fakeinunass 37861

Description: A special case where a mixture of intersection and union appears to conform to a mixed associative law. (Contributed by Richard Penner, 26-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
rp-fakeinunass	|- ( C C_ A <-> ( ( A i^i B ) u. C ) = ( A i^i ( B u. C ) ) )

Proof of Theorem rp-fakeinunass

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rp-fakeanorass 37858	. . 3 |- ( ( x e. C -> x e. A ) <-> ( ( ( x e. A /\ x e. B ) \/ x e. C ) <-> ( x e. A /\ ( x e. B \/ x e. C ) ) ) )
2	1	albii 1747	. 2 |- ( A. x ( x e. C -> x e. A ) <-> A. x ( ( ( x e. A /\ x e. B ) \/ x e. C ) <-> ( x e. A /\ ( x e. B \/ x e. C ) ) ) )
3		dfss2 3591	. 2 |- ( C C_ A <-> A. x ( x e. C -> x e. A ) )
4		dfcleq 2616	. . 3 |- ( ( ( A i^i B ) u. C ) = ( A i^i ( B u. C ) ) <-> A. x ( x e. ( ( A i^i B ) u. C ) <-> x e. ( A i^i ( B u. C ) ) ) )
5		elun 3753	. . . . . 6 |- ( x e. ( ( A i^i B ) u. C ) <-> ( x e. ( A i^i B ) \/ x e. C ) )
6		elin 3796	. . . . . . 7 |- ( x e. ( A i^i B ) <-> ( x e. A /\ x e. B ) )
7	6	orbi1i 542	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( A i^i B ) \/ x e. C ) <-> ( ( x e. A /\ x e. B ) \/ x e. C ) )
8	5, 7	bitri 264	. . . . 5 |- ( x e. ( ( A i^i B ) u. C ) <-> ( ( x e. A /\ x e. B ) \/ x e. C ) )
9		elin 3796	. . . . . 6 |- ( x e. ( A i^i ( B u. C ) ) <-> ( x e. A /\ x e. ( B u. C ) ) )
10		elun 3753	. . . . . . 7 |- ( x e. ( B u. C ) <-> ( x e. B \/ x e. C ) )
11	10	anbi2i 730	. . . . . 6 |- ( ( x e. A /\ x e. ( B u. C ) ) <-> ( x e. A /\ ( x e. B \/ x e. C ) ) )
12	9, 11	bitri 264	. . . . 5 |- ( x e. ( A i^i ( B u. C ) ) <-> ( x e. A /\ ( x e. B \/ x e. C ) ) )
13	8, 12	bibi12i 329	. . . 4 |- ( ( x e. ( ( A i^i B ) u. C ) <-> x e. ( A i^i ( B u. C ) ) ) <-> ( ( ( x e. A /\ x e. B ) \/ x e. C ) <-> ( x e. A /\ ( x e. B \/ x e. C ) ) ) )
14	13	albii 1747	. . 3 |- ( A. x ( x e. ( ( A i^i B ) u. C ) <-> x e. ( A i^i ( B u. C ) ) ) <-> A. x ( ( ( x e. A /\ x e. B ) \/ x e. C ) <-> ( x e. A /\ ( x e. B \/ x e. C ) ) ) )
15	4, 14	bitri 264	. 2 |- ( ( ( A i^i B ) u. C ) = ( A i^i ( B u. C ) ) <-> A. x ( ( ( x e. A /\ x e. B ) \/ x e. C ) <-> ( x e. A /\ ( x e. B \/ x e. C ) ) ) )
16	2, 3, 15	3bitr4i 292	1 |- ( C C_ A <-> ( ( A i^i B ) u. C ) = ( A i^i ( B u. C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   A.wal 1481   = wceq 1483   e. wcel 1990   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-v 3202  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588

This theorem is referenced by:  rp-fakeuninass  37862