Theorem sbcoreleleqVD 39095

Description: Virtual deduction proof of sbcoreleleq 38745. The following user's proof is completed by invoking mmj2's unify command and using mmj2's StepSelector to pick all remaining steps of the Metamath proof.

1::	|- (. A e. B ->. A e. B ).
2:1,?: e1a 38852	|- (. A e. B ->. ( [. A / y ]. x e. y <-> x e. A ) ).
3:1,?: e1a 38852	|- (. A e. B ->. ( [. A / y ]. y e. x <-> A e. x ) ).
4:1,?: e1a 38852	|- (. A e. B ->. ( [. A / y ]. x = y <-> x = A ) ).
5:2,3,4,?: e111 38899	|- (. A e. B ->. ( ( x e. A \/ A e. x \/ x = A ) <-> ( [. A / y ]. x e. y \/ [. A / y ]. y e. x \/ [. A / y ]. x = y ) ) ).
6:1,?: e1a 38852	|- (. A e. B ->. ( [. A / y ]. ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) <-> ( [. A / y ]. x e. y \/ [. A / y ]. y e. x \/ [. A / y ]. x = y ) ) ).
7:5,6: e11 38913	|- (. A e. B ->. ( [. A / y ]. ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) <-> ( x e. A \/ A e. x \/ x = A ) ) ).
qed:7:	|- ( A e. B -> ( [. A / y ]. ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) <-> ( x e. A \/ A e. x \/ x = A ) ) )

(Contributed by Alan Sare, 31-Dec-2011.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
sbcoreleleqVD	|- ( A e. B -> ( [. A / y ]. ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) <-> ( x e. A \/ A e. x \/ x = A ) ) )

Distinct variable group:   x, y

Allowed substitution hints:   A( x, y)   B( x, y)

Proof of Theorem sbcoreleleqVD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idn1 38790	. . . . 5 |- (. A e. B ->. A e. B ).
2		sbcel2gv 3496	. . . . 5 |- ( A e. B -> ( [. A / y ]. x e. y <-> x e. A ) )
3	1, 2	e1a 38852	. . . 4 |- (. A e. B ->. ( [. A / y ]. x e. y <-> x e. A ) ).
4		sbcel1gvOLD 39094	. . . . 5 |- ( A e. B -> ( [. A / y ]. y e. x <-> A e. x ) )
5	1, 4	e1a 38852	. . . 4 |- (. A e. B ->. ( [. A / y ]. y e. x <-> A e. x ) ).
6		eqsbc3r 3492	. . . . 5 |- ( A e. B -> ( [. A / y ]. x = y <-> x = A ) )
7	1, 6	e1a 38852	. . . 4 |- (. A e. B ->. ( [. A / y ]. x = y <-> x = A ) ).
8		3orbi123 38717	. . . . 5 |- ( ( ( [. A / y ]. x e. y <-> x e. A ) /\ ( [. A / y ]. y e. x <-> A e. x ) /\ ( [. A / y ]. x = y <-> x = A ) ) -> ( ( [. A / y ]. x e. y \/ [. A / y ]. y e. x \/ [. A / y ]. x = y ) <-> ( x e. A \/ A e. x \/ x = A ) ) )
9	8	3impexpbicomi 38686	. . . 4 |- ( ( [. A / y ]. x e. y <-> x e. A ) -> ( ( [. A / y ]. y e. x <-> A e. x ) -> ( ( [. A / y ]. x = y <-> x = A ) -> ( ( x e. A \/ A e. x \/ x = A ) <-> ( [. A / y ]. x e. y \/ [. A / y ]. y e. x \/ [. A / y ]. x = y ) ) ) ) )
10	3, 5, 7, 9	e111 38899	. . 3 |- (. A e. B ->. ( ( x e. A \/ A e. x \/ x = A ) <-> ( [. A / y ]. x e. y \/ [. A / y ]. y e. x \/ [. A / y ]. x = y ) ) ).
11		sbc3orgOLD 38742	. . . 4 |- ( A e. B -> ( [. A / y ]. ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) <-> ( [. A / y ]. x e. y \/ [. A / y ]. y e. x \/ [. A / y ]. x = y ) ) )
12	1, 11	e1a 38852	. . 3 |- (. A e. B ->. ( [. A / y ]. ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) <-> ( [. A / y ]. x e. y \/ [. A / y ]. y e. x \/ [. A / y ]. x = y ) ) ).
13		biantr 972	. . . 4 |- ( ( ( [. A / y ]. ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) <-> ( [. A / y ]. x e. y \/ [. A / y ]. y e. x \/ [. A / y ]. x = y ) ) /\ ( ( x e. A \/ A e. x \/ x = A ) <-> ( [. A / y ]. x e. y \/ [. A / y ]. y e. x \/ [. A / y ]. x = y ) ) ) -> ( [. A / y ]. ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) <-> ( x e. A \/ A e. x \/ x = A ) ) )
14	13	expcom 451	. . 3 |- ( ( ( x e. A \/ A e. x \/ x = A ) <-> ( [. A / y ]. x e. y \/ [. A / y ]. y e. x \/ [. A / y ]. x = y ) ) -> ( ( [. A / y ]. ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) <-> ( [. A / y ]. x e. y \/ [. A / y ]. y e. x \/ [. A / y ]. x = y ) ) -> ( [. A / y ]. ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) <-> ( x e. A \/ A e. x \/ x = A ) ) ) )
15	10, 12, 14	e11 38913	. 2 |- (. A e. B ->. ( [. A / y ]. ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) <-> ( x e. A \/ A e. x \/ x = A ) ) ).
16	15	in1 38787	1 |- ( A e. B -> ( [. A / y ]. ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) <-> ( x e. A \/ A e. x \/ x = A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ w3o 1036   = wceq 1483   e. wcel 1990   [.wsbc 3435

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-v 3202  df-sbc 3436  df-vd1 38786

This theorem is referenced by: (None)