Theorem sbthlem5 8074

Description: Lemma for sbth 8080. (Contributed by NM, 22-Mar-1998.)

Hypotheses

Ref	Expression
sbthlem.1	|- A e. _V
sbthlem.2	|- D = { x | ( x C_ A /\ ( g " ( B \ ( f " x ) ) ) C_ ( A \ x ) ) }
sbthlem.3	|- H = ( ( f |` U. D ) u. ( `' g |` ( A \ U. D ) ) )

Assertion

Ref	Expression
sbthlem5	|- ( ( dom f = A /\ ran g C_ A ) -> dom H = A )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, D   x, f   x, g   x, H

Allowed substitution hints:   A( f, g)   B( f, g)   D( f, g)   H( f, g)

Proof of Theorem sbthlem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sbthlem.1	. . . . . . . . 9 |- A e. _V
2		sbthlem.2	. . . . . . . . 9 |- D = { x | ( x C_ A /\ ( g " ( B \ ( f " x ) ) ) C_ ( A \ x ) ) }
3	1, 2	sbthlem1 8070	. . . . . . . 8 |- U. D C_ ( A \ ( g " ( B \ ( f " U. D ) ) ) )
4		difss 3737	. . . . . . . 8 |- ( A \ ( g " ( B \ ( f " U. D ) ) ) ) C_ A
5	3, 4	sstri 3612	. . . . . . 7 |- U. D C_ A
6		sseq2 3627	. . . . . . 7 |- ( dom f = A -> ( U. D C_ dom f <-> U. D C_ A ) )
7	5, 6	mpbiri 248	. . . . . 6 |- ( dom f = A -> U. D C_ dom f )
8		dfss 3589	. . . . . 6 |- ( U. D C_ dom f <-> U. D = ( U. D i^i dom f ) )
9	7, 8	sylib 208	. . . . 5 |- ( dom f = A -> U. D = ( U. D i^i dom f ) )
10	9	uneq1d 3766	. . . 4 |- ( dom f = A -> ( U. D u. ( A \ U. D ) ) = ( ( U. D i^i dom f ) u. ( A \ U. D ) ) )
11	1, 2	sbthlem3 8072	. . . . . . 7 |- ( ran g C_ A -> ( g " ( B \ ( f " U. D ) ) ) = ( A \ U. D ) )
12		imassrn 5477	. . . . . . 7 |- ( g " ( B \ ( f " U. D ) ) ) C_ ran g
13	11, 12	syl6eqssr 3656	. . . . . 6 |- ( ran g C_ A -> ( A \ U. D ) C_ ran g )
14		dfss 3589	. . . . . 6 |- ( ( A \ U. D ) C_ ran g <-> ( A \ U. D ) = ( ( A \ U. D ) i^i ran g ) )
15	13, 14	sylib 208	. . . . 5 |- ( ran g C_ A -> ( A \ U. D ) = ( ( A \ U. D ) i^i ran g ) )
16	15	uneq2d 3767	. . . 4 |- ( ran g C_ A -> ( ( U. D i^i dom f ) u. ( A \ U. D ) ) = ( ( U. D i^i dom f ) u. ( ( A \ U. D ) i^i ran g ) ) )
17	10, 16	sylan9eq 2676	. . 3 |- ( ( dom f = A /\ ran g C_ A ) -> ( U. D u. ( A \ U. D ) ) = ( ( U. D i^i dom f ) u. ( ( A \ U. D ) i^i ran g ) ) )
18		sbthlem.3	. . . . 5 |- H = ( ( f |` U. D ) u. ( `' g |` ( A \ U. D ) ) )
19	18	dmeqi 5325	. . . 4 |- dom H = dom ( ( f |` U. D ) u. ( `' g |` ( A \ U. D ) ) )
20		dmun 5331	. . . . 5 |- dom ( ( f |` U. D ) u. ( `' g |` ( A \ U. D ) ) ) = ( dom ( f |` U. D ) u. dom ( `' g |` ( A \ U. D ) ) )
21		dmres 5419	. . . . . 6 |- dom ( f |` U. D ) = ( U. D i^i dom f )
22		dmres 5419	. . . . . . 7 |- dom ( `' g |` ( A \ U. D ) ) = ( ( A \ U. D ) i^i dom `' g )
23		df-rn 5125	. . . . . . . . 9 |- ran g = dom `' g
24	23	eqcomi 2631	. . . . . . . 8 |- dom `' g = ran g
25	24	ineq2i 3811	. . . . . . 7 |- ( ( A \ U. D ) i^i dom `' g ) = ( ( A \ U. D ) i^i ran g )
26	22, 25	eqtri 2644	. . . . . 6 |- dom ( `' g |` ( A \ U. D ) ) = ( ( A \ U. D ) i^i ran g )
27	21, 26	uneq12i 3765	. . . . 5 |- ( dom ( f |` U. D ) u. dom ( `' g |` ( A \ U. D ) ) ) = ( ( U. D i^i dom f ) u. ( ( A \ U. D ) i^i ran g ) )
28	20, 27	eqtri 2644	. . . 4 |- dom ( ( f |` U. D ) u. ( `' g |` ( A \ U. D ) ) ) = ( ( U. D i^i dom f ) u. ( ( A \ U. D ) i^i ran g ) )
29	19, 28	eqtri 2644	. . 3 |- dom H = ( ( U. D i^i dom f ) u. ( ( A \ U. D ) i^i ran g ) )
30	17, 29	syl6reqr 2675	. 2 |- ( ( dom f = A /\ ran g C_ A ) -> dom H = ( U. D u. ( A \ U. D ) ) )
31		undif 4049	. . 3 |- ( U. D C_ A <-> ( U. D u. ( A \ U. D ) ) = A )
32	5, 31	mpbi 220	. 2 |- ( U. D u. ( A \ U. D ) ) = A
33	30, 32	syl6eq 2672	1 |- ( ( dom f = A /\ ran g C_ A ) -> dom H = A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   U.cuni 4436   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   ran crn 5115   |` cres 5116   "cima 5117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-xp 5120  df-cnv 5122  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127

This theorem is referenced by:  sbthlem9  8078