Theorem setindtr 37591

Description: Epsilon induction for sets contained in a transitive set. If we are allowed to assume Infinity, then all sets have a transitive closure and this reduces to setind 8610; however, this version is useful without Infinity. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
setindtr	|- ( A. x ( x C_ A -> x e. A ) -> ( E. y ( Tr y /\ B e. y ) -> B e. A ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y

Proof of Theorem setindtr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1843	. . . . . . . . . . 11 |- F/ x Tr y
2		nfa1 2028	. . . . . . . . . . 11 |- F/ x A. x ( x C_ A -> x e. A )
3	1, 2	nfan 1828	. . . . . . . . . 10 |- F/ x ( Tr y /\ A. x ( x C_ A -> x e. A ) )
4		eldifn 3733	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( y \ A ) -> -. x e. A )
5	4	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( Tr y /\ A. x ( x C_ A -> x e. A ) ) /\ x e. ( y \ A ) ) -> -. x e. A )
6		trss 4761	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( Tr y -> ( x e. y -> x C_ y ) )
7		eldifi 3732	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. ( y \ A ) -> x e. y )
8	6, 7	impel 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( Tr y /\ x e. ( y \ A ) ) -> x C_ y )
9		df-ss 3588	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x C_ y <-> ( x i^i y ) = x )
10	8, 9	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( Tr y /\ x e. ( y \ A ) ) -> ( x i^i y ) = x )
11	10	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( Tr y /\ A. x ( x C_ A -> x e. A ) ) /\ x e. ( y \ A ) ) -> ( x i^i y ) = x )
12	11	sseq1d 3632	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( Tr y /\ A. x ( x C_ A -> x e. A ) ) /\ x e. ( y \ A ) ) -> ( ( x i^i y ) C_ A <-> x C_ A ) )
13		sp 2053	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. x ( x C_ A -> x e. A ) -> ( x C_ A -> x e. A ) )
14	13	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( Tr y /\ A. x ( x C_ A -> x e. A ) ) /\ x e. ( y \ A ) ) -> ( x C_ A -> x e. A ) )
15	12, 14	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( Tr y /\ A. x ( x C_ A -> x e. A ) ) /\ x e. ( y \ A ) ) -> ( ( x i^i y ) C_ A -> x e. A ) )
16	5, 15	mtod 189	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( Tr y /\ A. x ( x C_ A -> x e. A ) ) /\ x e. ( y \ A ) ) -> -. ( x i^i y ) C_ A )
17		inssdif0 3947	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x i^i y ) C_ A <-> ( x i^i ( y \ A ) ) = (/) )
18	16, 17	sylnib 318	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( Tr y /\ A. x ( x C_ A -> x e. A ) ) /\ x e. ( y \ A ) ) -> -. ( x i^i ( y \ A ) ) = (/) )
19	18	ex 450	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Tr y /\ A. x ( x C_ A -> x e. A ) ) -> ( x e. ( y \ A ) -> -. ( x i^i ( y \ A ) ) = (/) ) )
20	3, 19	ralrimi 2957	. . . . . . . . 9 |- ( ( Tr y /\ A. x ( x C_ A -> x e. A ) ) -> A. x e. ( y \ A ) -. ( x i^i ( y \ A ) ) = (/) )
21		ralnex 2992	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. ( y \ A ) -. ( x i^i ( y \ A ) ) = (/) <-> -. E. x e. ( y \ A ) ( x i^i ( y \ A ) ) = (/) )
22	20, 21	sylib 208	. . . . . . . 8 |- ( ( Tr y /\ A. x ( x C_ A -> x e. A ) ) -> -. E. x e. ( y \ A ) ( x i^i ( y \ A ) ) = (/) )
23		vex 3203	. . . . . . . . . . 11 |- y e. _V
24	23	difexi 4809	. . . . . . . . . 10 |- ( y \ A ) e. _V
25		zfreg 8500	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y \ A ) e. _V /\ ( y \ A ) =/= (/) ) -> E. x e. ( y \ A ) ( x i^i ( y \ A ) ) = (/) )
26	24, 25	mpan 706	. . . . . . . . 9 |- ( ( y \ A ) =/= (/) -> E. x e. ( y \ A ) ( x i^i ( y \ A ) ) = (/) )
27	26	necon1bi 2822	. . . . . . . 8 |- ( -. E. x e. ( y \ A ) ( x i^i ( y \ A ) ) = (/) -> ( y \ A ) = (/) )
28	22, 27	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( Tr y /\ A. x ( x C_ A -> x e. A ) ) -> ( y \ A ) = (/) )
29		ssdif0 3942	. . . . . . 7 |- ( y C_ A <-> ( y \ A ) = (/) )
30	28, 29	sylibr 224	. . . . . 6 |- ( ( Tr y /\ A. x ( x C_ A -> x e. A ) ) -> y C_ A )
31	30	adantlr 751	. . . . 5 |- ( ( ( Tr y /\ B e. y ) /\ A. x ( x C_ A -> x e. A ) ) -> y C_ A )
32		simplr 792	. . . . 5 |- ( ( ( Tr y /\ B e. y ) /\ A. x ( x C_ A -> x e. A ) ) -> B e. y )
33	31, 32	sseldd 3604	. . . 4 |- ( ( ( Tr y /\ B e. y ) /\ A. x ( x C_ A -> x e. A ) ) -> B e. A )
34	33	ex 450	. . 3 |- ( ( Tr y /\ B e. y ) -> ( A. x ( x C_ A -> x e. A ) -> B e. A ) )
35	34	exlimiv 1858	. 2 |- ( E. y ( Tr y /\ B e. y ) -> ( A. x ( x C_ A -> x e. A ) -> B e. A ) )
36	35	com12 32	1 |- ( A. x ( x C_ A -> x e. A ) -> ( E. y ( Tr y /\ B e. y ) -> B e. A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   A.wal 1481   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   Tr wtr 4752

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-reg 8497

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-v 3202  df-dif 3577  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-uni 4437  df-tr 4753

This theorem is referenced by:  setindtrs  37592