Theorem expdioph 37590

Description: The exponential function is Diophantine. This result completes and encapsulates our development using Pell equation solution sequences and is sometimes regarded as Matiyasevich's theorem properly. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
expdioph	|- { a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 3 ) ) | ( a ` 3 ) = ( ( a ` 1 ) ^ ( a ` 2 ) ) } e. (Dioph ` 3 )

Proof of Theorem expdioph

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm4.42 1004	. . . 4 |- ( ( a ` 3 ) = ( ( a ` 1 ) ^ ( a ` 2 ) ) <-> ( ( ( a ` 3 ) = ( ( a ` 1 ) ^ ( a ` 2 ) ) /\ ( a ` 2 ) e. NN ) \/ ( ( a ` 3 ) = ( ( a ` 1 ) ^ ( a ` 2 ) ) /\ -. ( a ` 2 ) e. NN ) ) )
2		ancom 466	. . . . . 6 |- ( ( ( a ` 3 ) = ( ( a ` 1 ) ^ ( a ` 2 ) ) /\ ( a ` 2 ) e. NN ) <-> ( ( a ` 2 ) e. NN /\ ( a ` 3 ) = ( ( a ` 1 ) ^ ( a ` 2 ) ) ) )
3		elmapi 7879	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 3 ) ) -> a : ( 1 ... 3 ) --> NN0 )
4		df-2 11079	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 = ( 1 + 1 )
5		df-3 11080	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 3 = ( 2 + 1 )
6		ssid 3624	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 1 ... 3 ) C_ ( 1 ... 3 )
7	5, 6	jm2.27dlem5 37580	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1 ... 2 ) C_ ( 1 ... 3 )
8	4, 7	jm2.27dlem5 37580	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1 ... 1 ) C_ ( 1 ... 3 )
9		1nn 11031	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1 e. NN
10	9	jm2.27dlem3 37578	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. ( 1 ... 1 )
11	8, 10	sselii 3600	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. ( 1 ... 3 )
12		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( a : ( 1 ... 3 ) --> NN0 /\ 1 e. ( 1 ... 3 ) ) -> ( a ` 1 ) e. NN0 )
13	3, 11, 12	sylancl 694	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 3 ) ) -> ( a ` 1 ) e. NN0 )
14	13	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 3 ) ) /\ ( a ` 2 ) e. NN ) -> ( a ` 1 ) e. NN0 )
15		elnn0 11294	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( a ` 1 ) e. NN0 <-> ( ( a ` 1 ) e. NN \/ ( a ` 1 ) = 0 ) )
16	14, 15	sylib 208	. . . . . . . . . 10 |- ( ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 3 ) ) /\ ( a ` 2 ) e. NN ) -> ( ( a ` 1 ) e. NN \/ ( a ` 1 ) = 0 ) )
17		elnn1uz2 11765	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( a ` 1 ) e. NN <-> ( ( a ` 1 ) = 1 \/ ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
18	17	biimpi 206	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( a ` 1 ) e. NN -> ( ( a ` 1 ) = 1 \/ ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
19	18	orim1i 539	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( a ` 1 ) e. NN \/ ( a ` 1 ) = 0 ) -> ( ( ( a ` 1 ) = 1 \/ ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) ) \/ ( a ` 1 ) = 0 ) )
20	16, 19	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 3 ) ) /\ ( a ` 2 ) e. NN ) -> ( ( ( a ` 1 ) = 1 \/ ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) ) \/ ( a ` 1 ) = 0 ) )
21	20	biantrurd 529	. . . . . . . 8 |- ( ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 3 ) ) /\ ( a ` 2 ) e. NN ) -> ( ( a ` 3 ) = ( ( a ` 1 ) ^ ( a ` 2 ) ) <-> ( ( ( ( a ` 1 ) = 1 \/ ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) ) \/ ( a ` 1 ) = 0 ) /\ ( a ` 3 ) = ( ( a ` 1 ) ^ ( a ` 2 ) ) ) ) )
22		andir 912	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( a ` 1 ) = 1 \/ ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) ) \/ ( a ` 1 ) = 0 ) /\ ( a ` 3 ) = ( ( a ` 1 ) ^ ( a ` 2 ) ) ) <-> ( ( ( ( a ` 1 ) = 1 \/ ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( a ` 3 ) = ( ( a ` 1 ) ^ ( a ` 2 ) ) ) \/ ( ( a ` 1 ) = 0 /\ ( a ` 3 ) = ( ( a ` 1 ) ^ ( a ` 2 ) ) ) ) )
23		andir 912	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( a ` 1 ) = 1 \/ ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( a ` 3 ) = ( ( a ` 1 ) ^ ( a ` 2 ) ) ) <-> ( ( ( a ` 1 ) = 1 /\ ( a ` 3 ) = ( ( a ` 1 ) ^ ( a ` 2 ) ) ) \/ ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( a ` 3 ) = ( ( a ` 1 ) ^ ( a ` 2 ) ) ) ) )
24	23	orbi1i 542	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( a ` 1 ) = 1 \/ ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( a ` 3 ) = ( ( a ` 1 ) ^ ( a ` 2 ) ) ) \/ ( ( a ` 1 ) = 0 /\ ( a ` 3 ) = ( ( a ` 1 ) ^ ( a ` 2 ) ) ) ) <-> ( ( ( ( a ` 1 ) = 1 /\ ( a ` 3 ) = ( ( a ` 1 ) ^ ( a ` 2 ) ) ) \/ ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( a ` 3 ) = ( ( a ` 1 ) ^ ( a ` 2 ) ) ) ) \/ ( ( a ` 1 ) = 0 /\ ( a ` 3 ) = ( ( a ` 1 ) ^ ( a ` 2 ) ) ) ) )
25	22, 24	bitri 264	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( a ` 1 ) = 1 \/ ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) ) \/ ( a ` 1 ) = 0 ) /\ ( a ` 3 ) = ( ( a ` 1 ) ^ ( a ` 2 ) ) ) <-> ( ( ( ( a ` 1 ) = 1 /\ ( a ` 3 ) = ( ( a ` 1 ) ^ ( a ` 2 ) ) ) \/ ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( a ` 3 ) = ( ( a ` 1 ) ^ ( a ` 2 ) ) ) ) \/ ( ( a ` 1 ) = 0 /\ ( a ` 3 ) = ( ( a ` 1 ) ^ ( a ` 2 ) ) ) ) )
26		nnz 11399	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( a ` 2 ) e. NN -> ( a ` 2 ) e. ZZ )
27		1exp 12889	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( a ` 2 ) e. ZZ -> ( 1 ^ ( a ` 2 ) ) = 1 )
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( a ` 2 ) e. NN -> ( 1 ^ ( a ` 2 ) ) = 1 )
29	28	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 3 ) ) /\ ( a ` 2 ) e. NN ) -> ( 1 ^ ( a ` 2 ) ) = 1 )
30	29	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 3 ) ) /\ ( a ` 2 ) e. NN ) -> ( ( a ` 3 ) = ( 1 ^ ( a ` 2 ) ) <-> ( a ` 3 ) = 1 ) )
31		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( a ` 1 ) = 1 -> ( ( a ` 1 ) ^ ( a ` 2 ) ) = ( 1 ^ ( a ` 2 ) ) )
32	31	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( a ` 1 ) = 1 -> ( ( a ` 3 ) = ( ( a ` 1 ) ^ ( a ` 2 ) ) <-> ( a ` 3 ) = ( 1 ^ ( a ` 2 ) ) ) )
33	32	bibi1d 333	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( a ` 1 ) = 1 -> ( ( ( a ` 3 ) = ( ( a ` 1 ) ^ ( a ` 2 ) ) <-> ( a ` 3 ) = 1 ) <-> ( ( a ` 3 ) = ( 1 ^ ( a ` 2 ) ) <-> ( a ` 3 ) = 1 ) ) )
34	30, 33	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 3 ) ) /\ ( a ` 2 ) e. NN ) -> ( ( a ` 1 ) = 1 -> ( ( a ` 3 ) = ( ( a ` 1 ) ^ ( a ` 2 ) ) <-> ( a ` 3 ) = 1 ) ) )
35	34	pm5.32d 671	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 3 ) ) /\ ( a ` 2 ) e. NN ) -> ( ( ( a ` 1 ) = 1 /\ ( a ` 3 ) = ( ( a ` 1 ) ^ ( a ` 2 ) ) ) <-> ( ( a ` 1 ) = 1 /\ ( a ` 3 ) = 1 ) ) )
36		iba 524	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( a ` 2 ) e. NN -> ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( a ` 2 ) e. NN ) ) )
37	36	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 3 ) ) /\ ( a ` 2 ) e. NN ) -> ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( a ` 2 ) e. NN ) ) )
38	37	anbi1d 741	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 3 ) ) /\ ( a ` 2 ) e. NN ) -> ( ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( a ` 3 ) = ( ( a ` 1 ) ^ ( a ` 2 ) ) ) <-> ( ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( a ` 2 ) e. NN ) /\ ( a ` 3 ) = ( ( a ` 1 ) ^ ( a ` 2 ) ) ) ) )
39	35, 38	orbi12d 746	. . . . . . . . . 10 |- ( ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 3 ) ) /\ ( a ` 2 ) e. NN ) -> ( ( ( ( a ` 1 ) = 1 /\ ( a ` 3 ) = ( ( a ` 1 ) ^ ( a ` 2 ) ) ) \/ ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( a ` 3 ) = ( ( a ` 1 ) ^ ( a ` 2 ) ) ) ) <-> ( ( ( a ` 1 ) = 1 /\ ( a ` 3 ) = 1 ) \/ ( ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( a ` 2 ) e. NN ) /\ ( a ` 3 ) = ( ( a ` 1 ) ^ ( a ` 2 ) ) ) ) ) )
40		0exp 12895	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( a ` 2 ) e. NN -> ( 0 ^ ( a ` 2 ) ) = 0 )
41	40	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 3 ) ) /\ ( a ` 2 ) e. NN ) -> ( 0 ^ ( a ` 2 ) ) = 0 )
42	41	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 3 ) ) /\ ( a ` 2 ) e. NN ) -> ( ( a ` 3 ) = ( 0 ^ ( a ` 2 ) ) <-> ( a ` 3 ) = 0 ) )
43		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( a ` 1 ) = 0 -> ( ( a ` 1 ) ^ ( a ` 2 ) ) = ( 0 ^ ( a ` 2 ) ) )
44	43	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( a ` 1 ) = 0 -> ( ( a ` 3 ) = ( ( a ` 1 ) ^ ( a ` 2 ) ) <-> ( a ` 3 ) = ( 0 ^ ( a ` 2 ) ) ) )
45	44	bibi1d 333	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( a ` 1 ) = 0 -> ( ( ( a ` 3 ) = ( ( a ` 1 ) ^ ( a ` 2 ) ) <-> ( a ` 3 ) = 0 ) <-> ( ( a ` 3 ) = ( 0 ^ ( a ` 2 ) ) <-> ( a ` 3 ) = 0 ) ) )
46	42, 45	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 3 ) ) /\ ( a ` 2 ) e. NN ) -> ( ( a ` 1 ) = 0 -> ( ( a ` 3 ) = ( ( a ` 1 ) ^ ( a ` 2 ) ) <-> ( a ` 3 ) = 0 ) ) )
47	46	pm5.32d 671	. . . . . . . . . 10 |- ( ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 3 ) ) /\ ( a ` 2 ) e. NN ) -> ( ( ( a ` 1 ) = 0 /\ ( a ` 3 ) = ( ( a ` 1 ) ^ ( a ` 2 ) ) ) <-> ( ( a ` 1 ) = 0 /\ ( a ` 3 ) = 0 ) ) )
48	39, 47	orbi12d 746	. . . . . . . . 9 |- ( ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 3 ) ) /\ ( a ` 2 ) e. NN ) -> ( ( ( ( ( a ` 1 ) = 1 /\ ( a ` 3 ) = ( ( a ` 1 ) ^ ( a ` 2 ) ) ) \/ ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( a ` 3 ) = ( ( a ` 1 ) ^ ( a ` 2 ) ) ) ) \/ ( ( a ` 1 ) = 0 /\ ( a ` 3 ) = ( ( a ` 1 ) ^ ( a ` 2 ) ) ) ) <-> ( ( ( ( a ` 1 ) = 1 /\ ( a ` 3 ) = 1 ) \/ ( ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( a ` 2 ) e. NN ) /\ ( a ` 3 ) = ( ( a ` 1 ) ^ ( a ` 2 ) ) ) ) \/ ( ( a ` 1 ) = 0 /\ ( a ` 3 ) = 0 ) ) ) )
49	25, 48	syl5bb 272	. . . . . . . 8 |- ( ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 3 ) ) /\ ( a ` 2 ) e. NN ) -> ( ( ( ( ( a ` 1 ) = 1 \/ ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) ) \/ ( a ` 1 ) = 0 ) /\ ( a ` 3 ) = ( ( a ` 1 ) ^ ( a ` 2 ) ) ) <-> ( ( ( ( a ` 1 ) = 1 /\ ( a ` 3 ) = 1 ) \/ ( ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( a ` 2 ) e. NN ) /\ ( a ` 3 ) = ( ( a ` 1 ) ^ ( a ` 2 ) ) ) ) \/ ( ( a ` 1 ) = 0 /\ ( a ` 3 ) = 0 ) ) ) )
50	21, 49	bitrd 268	. . . . . . 7 |- ( ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 3 ) ) /\ ( a ` 2 ) e. NN ) -> ( ( a ` 3 ) = ( ( a ` 1 ) ^ ( a ` 2 ) ) <-> ( ( ( ( a ` 1 ) = 1 /\ ( a ` 3 ) = 1 ) \/ ( ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( a ` 2 ) e. NN ) /\ ( a ` 3 ) = ( ( a ` 1 ) ^ ( a ` 2 ) ) ) ) \/ ( ( a ` 1 ) = 0 /\ ( a ` 3 ) = 0 ) ) ) )
51	50	pm5.32da 673	. . . . . 6 |- ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 3 ) ) -> ( ( ( a ` 2 ) e. NN /\ ( a ` 3 ) = ( ( a ` 1 ) ^ ( a ` 2 ) ) ) <-> ( ( a ` 2 ) e. NN /\ ( ( ( ( a ` 1 ) = 1 /\ ( a ` 3 ) = 1 ) \/ ( ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( a ` 2 ) e. NN ) /\ ( a ` 3 ) = ( ( a ` 1 ) ^ ( a ` 2 ) ) ) ) \/ ( ( a ` 1 ) = 0 /\ ( a ` 3 ) = 0 ) ) ) ) )
52	2, 51	syl5bb 272	. . . . 5 |- ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 3 ) ) -> ( ( ( a ` 3 ) = ( ( a ` 1 ) ^ ( a ` 2 ) ) /\ ( a ` 2 ) e. NN ) <-> ( ( a ` 2 ) e. NN /\ ( ( ( ( a ` 1 ) = 1 /\ ( a ` 3 ) = 1 ) \/ ( ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( a ` 2 ) e. NN ) /\ ( a ` 3 ) = ( ( a ` 1 ) ^ ( a ` 2 ) ) ) ) \/ ( ( a ` 1 ) = 0 /\ ( a ` 3 ) = 0 ) ) ) ) )
53		ancom 466	. . . . . 6 |- ( ( ( a ` 3 ) = ( ( a ` 1 ) ^ ( a ` 2 ) ) /\ -. ( a ` 2 ) e. NN ) <-> ( -. ( a ` 2 ) e. NN /\ ( a ` 3 ) = ( ( a ` 1 ) ^ ( a ` 2 ) ) ) )
54		2nn 11185	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. NN
55	54	jm2.27dlem3 37578	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. ( 1 ... 2 )
56	7, 55	sselii 3600	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. ( 1 ... 3 )
57		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . 10 |- ( ( a : ( 1 ... 3 ) --> NN0 /\ 2 e. ( 1 ... 3 ) ) -> ( a ` 2 ) e. NN0 )
58	3, 56, 57	sylancl 694	. . . . . . . . 9 |- ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 3 ) ) -> ( a ` 2 ) e. NN0 )
59		elnn0 11294	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( a ` 2 ) e. NN0 <-> ( ( a ` 2 ) e. NN \/ ( a ` 2 ) = 0 ) )
60		pm2.53 388	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( a ` 2 ) e. NN \/ ( a ` 2 ) = 0 ) -> ( -. ( a ` 2 ) e. NN -> ( a ` 2 ) = 0 ) )
61	59, 60	sylbi 207	. . . . . . . . . 10 |- ( ( a ` 2 ) e. NN0 -> ( -. ( a ` 2 ) e. NN -> ( a ` 2 ) = 0 ) )
62		0nnn 11052	. . . . . . . . . . 11 |- -. 0 e. NN
63		eleq1 2689	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( a ` 2 ) = 0 -> ( ( a ` 2 ) e. NN <-> 0 e. NN ) )
64	62, 63	mtbiri 317	. . . . . . . . . 10 |- ( ( a ` 2 ) = 0 -> -. ( a ` 2 ) e. NN )
65	61, 64	impbid1 215	. . . . . . . . 9 |- ( ( a ` 2 ) e. NN0 -> ( -. ( a ` 2 ) e. NN <-> ( a ` 2 ) = 0 ) )
66	58, 65	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 3 ) ) -> ( -. ( a ` 2 ) e. NN <-> ( a ` 2 ) = 0 ) )
67	66	anbi1d 741	. . . . . . 7 |- ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 3 ) ) -> ( ( -. ( a ` 2 ) e. NN /\ ( a ` 3 ) = ( ( a ` 1 ) ^ ( a ` 2 ) ) ) <-> ( ( a ` 2 ) = 0 /\ ( a ` 3 ) = ( ( a ` 1 ) ^ ( a ` 2 ) ) ) ) )
68	13	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . 11 |- ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 3 ) ) -> ( a ` 1 ) e. CC )
69	68	exp0d 13002	. . . . . . . . . 10 |- ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 3 ) ) -> ( ( a ` 1 ) ^ 0 ) = 1 )
70	69	eqeq2d 2632	. . . . . . . . 9 |- ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 3 ) ) -> ( ( a ` 3 ) = ( ( a ` 1 ) ^ 0 ) <-> ( a ` 3 ) = 1 ) )
71		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( a ` 2 ) = 0 -> ( ( a ` 1 ) ^ ( a ` 2 ) ) = ( ( a ` 1 ) ^ 0 ) )
72	71	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . 10 |- ( ( a ` 2 ) = 0 -> ( ( a ` 3 ) = ( ( a ` 1 ) ^ ( a ` 2 ) ) <-> ( a ` 3 ) = ( ( a ` 1 ) ^ 0 ) ) )
73	72	bibi1d 333	. . . . . . . . 9 |- ( ( a ` 2 ) = 0 -> ( ( ( a ` 3 ) = ( ( a ` 1 ) ^ ( a ` 2 ) ) <-> ( a ` 3 ) = 1 ) <-> ( ( a ` 3 ) = ( ( a ` 1 ) ^ 0 ) <-> ( a ` 3 ) = 1 ) ) )
74	70, 73	syl5ibrcom 237	. . . . . . . 8 |- ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 3 ) ) -> ( ( a ` 2 ) = 0 -> ( ( a ` 3 ) = ( ( a ` 1 ) ^ ( a ` 2 ) ) <-> ( a ` 3 ) = 1 ) ) )
75	74	pm5.32d 671	. . . . . . 7 |- ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 3 ) ) -> ( ( ( a ` 2 ) = 0 /\ ( a ` 3 ) = ( ( a ` 1 ) ^ ( a ` 2 ) ) ) <-> ( ( a ` 2 ) = 0 /\ ( a ` 3 ) = 1 ) ) )
76	67, 75	bitrd 268	. . . . . 6 |- ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 3 ) ) -> ( ( -. ( a ` 2 ) e. NN /\ ( a ` 3 ) = ( ( a ` 1 ) ^ ( a ` 2 ) ) ) <-> ( ( a ` 2 ) = 0 /\ ( a ` 3 ) = 1 ) ) )
77	53, 76	syl5bb 272	. . . . 5 |- ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 3 ) ) -> ( ( ( a ` 3 ) = ( ( a ` 1 ) ^ ( a ` 2 ) ) /\ -. ( a ` 2 ) e. NN ) <-> ( ( a ` 2 ) = 0 /\ ( a ` 3 ) = 1 ) ) )
78	52, 77	orbi12d 746	. . . 4 |- ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 3 ) ) -> ( ( ( ( a ` 3 ) = ( ( a ` 1 ) ^ ( a ` 2 ) ) /\ ( a ` 2 ) e. NN ) \/ ( ( a ` 3 ) = ( ( a ` 1 ) ^ ( a ` 2 ) ) /\ -. ( a ` 2 ) e. NN ) ) <-> ( ( ( a ` 2 ) e. NN /\ ( ( ( ( a ` 1 ) = 1 /\ ( a ` 3 ) = 1 ) \/ ( ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( a ` 2 ) e. NN ) /\ ( a ` 3 ) = ( ( a ` 1 ) ^ ( a ` 2 ) ) ) ) \/ ( ( a ` 1 ) = 0 /\ ( a ` 3 ) = 0 ) ) ) \/ ( ( a ` 2 ) = 0 /\ ( a ` 3 ) = 1 ) ) ) )
79	1, 78	syl5bb 272	. . 3 |- ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 3 ) ) -> ( ( a ` 3 ) = ( ( a ` 1 ) ^ ( a ` 2 ) ) <-> ( ( ( a ` 2 ) e. NN /\ ( ( ( ( a ` 1 ) = 1 /\ ( a ` 3 ) = 1 ) \/ ( ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( a ` 2 ) e. NN ) /\ ( a ` 3 ) = ( ( a ` 1 ) ^ ( a ` 2 ) ) ) ) \/ ( ( a ` 1 ) = 0 /\ ( a ` 3 ) = 0 ) ) ) \/ ( ( a ` 2 ) = 0 /\ ( a ` 3 ) = 1 ) ) ) )
80	79	rabbiia 3185	. 2 |- { a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 3 ) ) | ( a ` 3 ) = ( ( a ` 1 ) ^ ( a ` 2 ) ) } = { a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 3 ) ) | ( ( ( a ` 2 ) e. NN /\ ( ( ( ( a ` 1 ) = 1 /\ ( a ` 3 ) = 1 ) \/ ( ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( a ` 2 ) e. NN ) /\ ( a ` 3 ) = ( ( a ` 1 ) ^ ( a ` 2 ) ) ) ) \/ ( ( a ` 1 ) = 0 /\ ( a ` 3 ) = 0 ) ) ) \/ ( ( a ` 2 ) = 0 /\ ( a ` 3 ) = 1 ) ) }
81		3nn0 11310	. . . . 5 |- 3 e. NN0
82		ovex 6678	. . . . . 6 |- ( 1 ... 3 ) e. _V
83		mzpproj 37300	. . . . . 6 |- ( ( ( 1 ... 3 ) e. _V /\ 2 e. ( 1 ... 3 ) ) -> ( a e. ( ZZ ^m ( 1 ... 3 ) ) |-> ( a ` 2 ) ) e. (mzPoly ` ( 1 ... 3 ) ) )
84	82, 56, 83	mp2an 708	. . . . 5 |- ( a e. ( ZZ ^m ( 1 ... 3 ) ) |-> ( a ` 2 ) ) e. (mzPoly ` ( 1 ... 3 ) )
85		elnnrabdioph 37371	. . . . 5 |- ( ( 3 e. NN0 /\ ( a e. ( ZZ ^m ( 1 ... 3 ) ) |-> ( a ` 2 ) ) e. (mzPoly ` ( 1 ... 3 ) ) ) -> { a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 3 ) ) | ( a ` 2 ) e. NN } e. (Dioph ` 3 ) )
86	81, 84, 85	mp2an 708	. . . 4 |- { a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 3 ) ) | ( a ` 2 ) e. NN } e. (Dioph ` 3 )
87		mzpproj 37300	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 1 ... 3 ) e. _V /\ 1 e. ( 1 ... 3 ) ) -> ( a e. ( ZZ ^m ( 1 ... 3 ) ) |-> ( a ` 1 ) ) e. (mzPoly ` ( 1 ... 3 ) ) )
88	82, 11, 87	mp2an 708	. . . . . . . 8 |- ( a e. ( ZZ ^m ( 1 ... 3 ) ) |-> ( a ` 1 ) ) e. (mzPoly ` ( 1 ... 3 ) )
89		1z 11407	. . . . . . . . 9 |- 1 e. ZZ
90		mzpconstmpt 37303	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 1 ... 3 ) e. _V /\ 1 e. ZZ ) -> ( a e. ( ZZ ^m ( 1 ... 3 ) ) |-> 1 ) e. (mzPoly ` ( 1 ... 3 ) ) )
91	82, 89, 90	mp2an 708	. . . . . . . 8 |- ( a e. ( ZZ ^m ( 1 ... 3 ) ) |-> 1 ) e. (mzPoly ` ( 1 ... 3 ) )
92		eqrabdioph 37341	. . . . . . . 8 |- ( ( 3 e. NN0 /\ ( a e. ( ZZ ^m ( 1 ... 3 ) ) |-> ( a ` 1 ) ) e. (mzPoly ` ( 1 ... 3 ) ) /\ ( a e. ( ZZ ^m ( 1 ... 3 ) ) |-> 1 ) e. (mzPoly ` ( 1 ... 3 ) ) ) -> { a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 3 ) ) | ( a ` 1 ) = 1 } e. (Dioph ` 3 ) )
93	81, 88, 91, 92	mp3an 1424	. . . . . . 7 |- { a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 3 ) ) | ( a ` 1 ) = 1 } e. (Dioph ` 3 )
94		3nn 11186	. . . . . . . . . 10 |- 3 e. NN
95	94	jm2.27dlem3 37578	. . . . . . . . 9 |- 3 e. ( 1 ... 3 )
96		mzpproj 37300	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 1 ... 3 ) e. _V /\ 3 e. ( 1 ... 3 ) ) -> ( a e. ( ZZ ^m ( 1 ... 3 ) ) |-> ( a ` 3 ) ) e. (mzPoly ` ( 1 ... 3 ) ) )
97	82, 95, 96	mp2an 708	. . . . . . . 8 |- ( a e. ( ZZ ^m ( 1 ... 3 ) ) |-> ( a ` 3 ) ) e. (mzPoly ` ( 1 ... 3 ) )
98		eqrabdioph 37341	. . . . . . . 8 |- ( ( 3 e. NN0 /\ ( a e. ( ZZ ^m ( 1 ... 3 ) ) |-> ( a ` 3 ) ) e. (mzPoly ` ( 1 ... 3 ) ) /\ ( a e. ( ZZ ^m ( 1 ... 3 ) ) |-> 1 ) e. (mzPoly ` ( 1 ... 3 ) ) ) -> { a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 3 ) ) | ( a ` 3 ) = 1 } e. (Dioph ` 3 ) )
99	81, 97, 91, 98	mp3an 1424	. . . . . . 7 |- { a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 3 ) ) | ( a ` 3 ) = 1 } e. (Dioph ` 3 )
100		anrabdioph 37344	. . . . . . 7 |- ( ( { a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 3 ) ) | ( a ` 1 ) = 1 } e. (Dioph ` 3 ) /\ { a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 3 ) ) | ( a ` 3 ) = 1 } e. (Dioph ` 3 ) ) -> { a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 3 ) ) | ( ( a ` 1 ) = 1 /\ ( a ` 3 ) = 1 ) } e. (Dioph ` 3 ) )
101	93, 99, 100	mp2an 708	. . . . . 6 |- { a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 3 ) ) | ( ( a ` 1 ) = 1 /\ ( a ` 3 ) = 1 ) } e. (Dioph ` 3 )
102		expdiophlem2 37589	. . . . . 6 |- { a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 3 ) ) | ( ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( a ` 2 ) e. NN ) /\ ( a ` 3 ) = ( ( a ` 1 ) ^ ( a ` 2 ) ) ) } e. (Dioph ` 3 )
103		orrabdioph 37345	. . . . . 6 |- ( ( { a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 3 ) ) | ( ( a ` 1 ) = 1 /\ ( a ` 3 ) = 1 ) } e. (Dioph ` 3 ) /\ { a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 3 ) ) | ( ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( a ` 2 ) e. NN ) /\ ( a ` 3 ) = ( ( a ` 1 ) ^ ( a ` 2 ) ) ) } e. (Dioph ` 3 ) ) -> { a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 3 ) ) | ( ( ( a ` 1 ) = 1 /\ ( a ` 3 ) = 1 ) \/ ( ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( a ` 2 ) e. NN ) /\ ( a ` 3 ) = ( ( a ` 1 ) ^ ( a ` 2 ) ) ) ) } e. (Dioph ` 3 ) )
104	101, 102, 103	mp2an 708	. . . . 5 |- { a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 3 ) ) | ( ( ( a ` 1 ) = 1 /\ ( a ` 3 ) = 1 ) \/ ( ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( a ` 2 ) e. NN ) /\ ( a ` 3 ) = ( ( a ` 1 ) ^ ( a ` 2 ) ) ) ) } e. (Dioph ` 3 )
105		eq0rabdioph 37340	. . . . . . 7 |- ( ( 3 e. NN0 /\ ( a e. ( ZZ ^m ( 1 ... 3 ) ) |-> ( a ` 1 ) ) e. (mzPoly ` ( 1 ... 3 ) ) ) -> { a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 3 ) ) | ( a ` 1 ) = 0 } e. (Dioph ` 3 ) )
106	81, 88, 105	mp2an 708	. . . . . 6 |- { a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 3 ) ) | ( a ` 1 ) = 0 } e. (Dioph ` 3 )
107		eq0rabdioph 37340	. . . . . . 7 |- ( ( 3 e. NN0 /\ ( a e. ( ZZ ^m ( 1 ... 3 ) ) |-> ( a ` 3 ) ) e. (mzPoly ` ( 1 ... 3 ) ) ) -> { a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 3 ) ) | ( a ` 3 ) = 0 } e. (Dioph ` 3 ) )
108	81, 97, 107	mp2an 708	. . . . . 6 |- { a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 3 ) ) | ( a ` 3 ) = 0 } e. (Dioph ` 3 )
109		anrabdioph 37344	. . . . . 6 |- ( ( { a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 3 ) ) | ( a ` 1 ) = 0 } e. (Dioph ` 3 ) /\ { a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 3 ) ) | ( a ` 3 ) = 0 } e. (Dioph ` 3 ) ) -> { a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 3 ) ) | ( ( a ` 1 ) = 0 /\ ( a ` 3 ) = 0 ) } e. (Dioph ` 3 ) )
110	106, 108, 109	mp2an 708	. . . . 5 |- { a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 3 ) ) | ( ( a ` 1 ) = 0 /\ ( a ` 3 ) = 0 ) } e. (Dioph ` 3 )
111		orrabdioph 37345	. . . . 5 |- ( ( { a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 3 ) ) | ( ( ( a ` 1 ) = 1 /\ ( a ` 3 ) = 1 ) \/ ( ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( a ` 2 ) e. NN ) /\ ( a ` 3 ) = ( ( a ` 1 ) ^ ( a ` 2 ) ) ) ) } e. (Dioph ` 3 ) /\ { a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 3 ) ) | ( ( a ` 1 ) = 0 /\ ( a ` 3 ) = 0 ) } e. (Dioph ` 3 ) ) -> { a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 3 ) ) | ( ( ( ( a ` 1 ) = 1 /\ ( a ` 3 ) = 1 ) \/ ( ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( a ` 2 ) e. NN ) /\ ( a ` 3 ) = ( ( a ` 1 ) ^ ( a ` 2 ) ) ) ) \/ ( ( a ` 1 ) = 0 /\ ( a ` 3 ) = 0 ) ) } e. (Dioph ` 3 ) )
112	104, 110, 111	mp2an 708	. . . 4 |- { a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 3 ) ) | ( ( ( ( a ` 1 ) = 1 /\ ( a ` 3 ) = 1 ) \/ ( ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( a ` 2 ) e. NN ) /\ ( a ` 3 ) = ( ( a ` 1 ) ^ ( a ` 2 ) ) ) ) \/ ( ( a ` 1 ) = 0 /\ ( a ` 3 ) = 0 ) ) } e. (Dioph ` 3 )
113		anrabdioph 37344	. . . 4 |- ( ( { a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 3 ) ) | ( a ` 2 ) e. NN } e. (Dioph ` 3 ) /\ { a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 3 ) ) | ( ( ( ( a ` 1 ) = 1 /\ ( a ` 3 ) = 1 ) \/ ( ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( a ` 2 ) e. NN ) /\ ( a ` 3 ) = ( ( a ` 1 ) ^ ( a ` 2 ) ) ) ) \/ ( ( a ` 1 ) = 0 /\ ( a ` 3 ) = 0 ) ) } e. (Dioph ` 3 ) ) -> { a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 3 ) ) | ( ( a ` 2 ) e. NN /\ ( ( ( ( a ` 1 ) = 1 /\ ( a ` 3 ) = 1 ) \/ ( ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( a ` 2 ) e. NN ) /\ ( a ` 3 ) = ( ( a ` 1 ) ^ ( a ` 2 ) ) ) ) \/ ( ( a ` 1 ) = 0 /\ ( a ` 3 ) = 0 ) ) ) } e. (Dioph ` 3 ) )
114	86, 112, 113	mp2an 708	. . 3 |- { a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 3 ) ) | ( ( a ` 2 ) e. NN /\ ( ( ( ( a ` 1 ) = 1 /\ ( a ` 3 ) = 1 ) \/ ( ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( a ` 2 ) e. NN ) /\ ( a ` 3 ) = ( ( a ` 1 ) ^ ( a ` 2 ) ) ) ) \/ ( ( a ` 1 ) = 0 /\ ( a ` 3 ) = 0 ) ) ) } e. (Dioph ` 3 )
115		eq0rabdioph 37340	. . . . 5 |- ( ( 3 e. NN0 /\ ( a e. ( ZZ ^m ( 1 ... 3 ) ) |-> ( a ` 2 ) ) e. (mzPoly ` ( 1 ... 3 ) ) ) -> { a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 3 ) ) | ( a ` 2 ) = 0 } e. (Dioph ` 3 ) )
116	81, 84, 115	mp2an 708	. . . 4 |- { a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 3 ) ) | ( a ` 2 ) = 0 } e. (Dioph ` 3 )
117		anrabdioph 37344	. . . 4 |- ( ( { a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 3 ) ) | ( a ` 2 ) = 0 } e. (Dioph ` 3 ) /\ { a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 3 ) ) | ( a ` 3 ) = 1 } e. (Dioph ` 3 ) ) -> { a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 3 ) ) | ( ( a ` 2 ) = 0 /\ ( a ` 3 ) = 1 ) } e. (Dioph ` 3 ) )
118	116, 99, 117	mp2an 708	. . 3 |- { a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 3 ) ) | ( ( a ` 2 ) = 0 /\ ( a ` 3 ) = 1 ) } e. (Dioph ` 3 )
119		orrabdioph 37345	. . 3 |- ( ( { a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 3 ) ) | ( ( a ` 2 ) e. NN /\ ( ( ( ( a ` 1 ) = 1 /\ ( a ` 3 ) = 1 ) \/ ( ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( a ` 2 ) e. NN ) /\ ( a ` 3 ) = ( ( a ` 1 ) ^ ( a ` 2 ) ) ) ) \/ ( ( a ` 1 ) = 0 /\ ( a ` 3 ) = 0 ) ) ) } e. (Dioph ` 3 ) /\ { a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 3 ) ) | ( ( a ` 2 ) = 0 /\ ( a ` 3 ) = 1 ) } e. (Dioph ` 3 ) ) -> { a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 3 ) ) | ( ( ( a ` 2 ) e. NN /\ ( ( ( ( a ` 1 ) = 1 /\ ( a ` 3 ) = 1 ) \/ ( ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( a ` 2 ) e. NN ) /\ ( a ` 3 ) = ( ( a ` 1 ) ^ ( a ` 2 ) ) ) ) \/ ( ( a ` 1 ) = 0 /\ ( a ` 3 ) = 0 ) ) ) \/ ( ( a ` 2 ) = 0 /\ ( a ` 3 ) = 1 ) ) } e. (Dioph ` 3 ) )
120	114, 118, 119	mp2an 708	. 2 |- { a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 3 ) ) | ( ( ( a ` 2 ) e. NN /\ ( ( ( ( a ` 1 ) = 1 /\ ( a ` 3 ) = 1 ) \/ ( ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( a ` 2 ) e. NN ) /\ ( a ` 3 ) = ( ( a ` 1 ) ^ ( a ` 2 ) ) ) ) \/ ( ( a ` 1 ) = 0 /\ ( a ` 3 ) = 0 ) ) ) \/ ( ( a ` 2 ) = 0 /\ ( a ` 3 ) = 1 ) ) } e. (Dioph ` 3 )
121	80, 120	eqeltri 2697	1 |- { a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 3 ) ) | ( a ` 3 ) = ( ( a ` 1 ) ^ ( a ` 2 ) ) } e. (Dioph ` 3 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {crab 2916   _Vcvv 3200   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   0cc0 9936   1c1 9937   NNcn 11020   2c2 11070   3c3 11071   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   ^cexp 12860  mzPolycmzp 37285  Diophcdioph 37318

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386  df-numer 15443  df-denom 15444  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-mzpcl 37286  df-mzp 37287  df-dioph 37319  df-squarenn 37405  df-pell1qr 37406  df-pell14qr 37407  df-pell1234qr 37408  df-pellfund 37409  df-rmx 37466  df-rmy 37467

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