Theorem ssrelf 29425

Description: A subclass relationship depends only on a relation's ordered pairs. Theorem 3.2(i) of [Monk1] p. 33. (Contributed by NM, 2-Aug-1994.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.) (Revised by Thierry Arnoux, 6-Nov-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqrelrd2.1	|- F/ x ph
eqrelrd2.2	|- F/ y ph
eqrelrd2.3	|- F/_ x A
eqrelrd2.4	|- F/_ y A
eqrelrd2.5	|- F/_ x B
eqrelrd2.6	|- F/_ y B

Assertion

Ref	Expression
ssrelf	|- ( Rel A -> ( A C_ B <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) ) )

Distinct variable group:   x, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   A( x, y)   B( x, y)

Proof of Theorem ssrelf

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqrelrd2.3	. . . 4 |- F/_ x A
2		eqrelrd2.5	. . . 4 |- F/_ x B
3	1, 2	nfss 3596	. . 3 |- F/ x A C_ B
4		eqrelrd2.4	. . . . 5 |- F/_ y A
5		eqrelrd2.6	. . . . 5 |- F/_ y B
6	4, 5	nfss 3596	. . . 4 |- F/ y A C_ B
7		ssel 3597	. . . 4 |- ( A C_ B -> ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) )
8	6, 7	alrimi 2082	. . 3 |- ( A C_ B -> A. y ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) )
9	3, 8	alrimi 2082	. 2 |- ( A C_ B -> A. x A. y ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) )
10		eleq1 2689	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = <. x , y >. -> ( z e. A <-> <. x , y >. e. A ) )
11		eleq1 2689	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = <. x , y >. -> ( z e. B <-> <. x , y >. e. B ) )
12	10, 11	imbi12d 334	. . . . . . . . . 10 |- ( z = <. x , y >. -> ( ( z e. A -> z e. B ) <-> ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) ) )
13	12	biimprcd 240	. . . . . . . . 9 |- ( ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) -> ( z = <. x , y >. -> ( z e. A -> z e. B ) ) )
14	13	2alimi 1740	. . . . . . . 8 |- ( A. x A. y ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) -> A. x A. y ( z = <. x , y >. -> ( z e. A -> z e. B ) ) )
15	4	nfcri 2758	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ y z e. A
16	5	nfcri 2758	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ y z e. B
17	15, 16	nfim 1825	. . . . . . . . . . 11 |- F/ y ( z e. A -> z e. B )
18	17	19.23 2080	. . . . . . . . . 10 |- ( A. y ( z = <. x , y >. -> ( z e. A -> z e. B ) ) <-> ( E. y z = <. x , y >. -> ( z e. A -> z e. B ) ) )
19	18	albii 1747	. . . . . . . . 9 |- ( A. x A. y ( z = <. x , y >. -> ( z e. A -> z e. B ) ) <-> A. x ( E. y z = <. x , y >. -> ( z e. A -> z e. B ) ) )
20	1	nfcri 2758	. . . . . . . . . . 11 |- F/ x z e. A
21	2	nfcri 2758	. . . . . . . . . . 11 |- F/ x z e. B
22	20, 21	nfim 1825	. . . . . . . . . 10 |- F/ x ( z e. A -> z e. B )
23	22	19.23 2080	. . . . . . . . 9 |- ( A. x ( E. y z = <. x , y >. -> ( z e. A -> z e. B ) ) <-> ( E. x E. y z = <. x , y >. -> ( z e. A -> z e. B ) ) )
24	19, 23	bitri 264	. . . . . . . 8 |- ( A. x A. y ( z = <. x , y >. -> ( z e. A -> z e. B ) ) <-> ( E. x E. y z = <. x , y >. -> ( z e. A -> z e. B ) ) )
25	14, 24	sylib 208	. . . . . . 7 |- ( A. x A. y ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) -> ( E. x E. y z = <. x , y >. -> ( z e. A -> z e. B ) ) )
26	25	com23 86	. . . . . 6 |- ( A. x A. y ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) -> ( z e. A -> ( E. x E. y z = <. x , y >. -> z e. B ) ) )
27	26	a2d 29	. . . . 5 |- ( A. x A. y ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) -> ( ( z e. A -> E. x E. y z = <. x , y >. ) -> ( z e. A -> z e. B ) ) )
28	27	alimdv 1845	. . . 4 |- ( A. x A. y ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) -> ( A. z ( z e. A -> E. x E. y z = <. x , y >. ) -> A. z ( z e. A -> z e. B ) ) )
29		df-rel 5121	. . . . 5 |- ( Rel A <-> A C_ ( _V X. _V ) )
30		dfss2 3591	. . . . 5 |- ( A C_ ( _V X. _V ) <-> A. z ( z e. A -> z e. ( _V X. _V ) ) )
31		elvv 5177	. . . . . . 7 |- ( z e. ( _V X. _V ) <-> E. x E. y z = <. x , y >. )
32	31	imbi2i 326	. . . . . 6 |- ( ( z e. A -> z e. ( _V X. _V ) ) <-> ( z e. A -> E. x E. y z = <. x , y >. ) )
33	32	albii 1747	. . . . 5 |- ( A. z ( z e. A -> z e. ( _V X. _V ) ) <-> A. z ( z e. A -> E. x E. y z = <. x , y >. ) )
34	29, 30, 33	3bitri 286	. . . 4 |- ( Rel A <-> A. z ( z e. A -> E. x E. y z = <. x , y >. ) )
35		dfss2 3591	. . . 4 |- ( A C_ B <-> A. z ( z e. A -> z e. B ) )
36	28, 34, 35	3imtr4g 285	. . 3 |- ( A. x A. y ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) -> ( Rel A -> A C_ B ) )
37	36	com12 32	. 2 |- ( Rel A -> ( A. x A. y ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) -> A C_ B ) )
38	9, 37	impbid2 216	1 |- ( Rel A -> ( A C_ B <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   A.wal 1481   = wceq 1483   E.wex 1704   F/wnf 1708   e. wcel 1990   F/_wnfc 2751   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   <.cop 4183   X. cxp 5112   Rel wrel 5119

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-opab 4713  df-xp 5120  df-rel 5121

This theorem is referenced by:  eqrelrd2  29426