Theorem elvv 5177

Description: Membership in universal class of ordered pairs. (Contributed by NM, 4-Jul-1994.)

Assertion

Ref	Expression
elvv	|- ( A e. ( _V X. _V ) <-> E. x E. y A = <. x , y >. )

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem elvv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxp 5131	. 2 |- ( A e. ( _V X. _V ) <-> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ( x e. _V /\ y e. _V ) ) )
2		vex 3203	. . . . 5 |- x e. _V
3		vex 3203	. . . . 5 |- y e. _V
4	2, 3	pm3.2i 471	. . . 4 |- ( x e. _V /\ y e. _V )
5	4	biantru 526	. . 3 |- ( A = <. x , y >. <-> ( A = <. x , y >. /\ ( x e. _V /\ y e. _V ) ) )
6	5	2exbii 1775	. 2 |- ( E. x E. y A = <. x , y >. <-> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ( x e. _V /\ y e. _V ) ) )
7	1, 6	bitr4i 267	1 |- ( A e. ( _V X. _V ) <-> E. x E. y A = <. x , y >. )

Syntax hints:   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   <.cop 4183   X. cxp 5112

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-opab 4713  df-xp 5120

This theorem is referenced by:  elvvv  5178  elvvuni  5179  elopaelxp  5191  ssrelOLD  5208  elrel  5222  copsex2gb  5230  relop  5272  elreldm  5350  dmsnn0  5600  funsndifnop  6416  1stval2  7185  2ndval2  7186  1st2val  7194  2nd2val  7195  dfopab2  7222  dfoprab3s  7223  dftpos4  7371  tpostpos  7372  fundmen  8030  fundmge2nop0  13274  ssrelf  29425  dfdm5  31676  dfrn5  31677  brtxp2  31988  pprodss4v  31991  brpprod3a  31993  brimg  32044  fun2dmnopgexmpl  41303