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Theorem tendofset 36046
Description: The set of all trace-preserving endomorphisms on the set of translations for a lattice K. (Contributed by NM, 8-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendoset.l |- .<_ = ( le ` K )
tendoset.h |- H = ( LHyp ` K )
Assertion
Ref Expression
tendofset |- ( K e. V -> ( TEndo ` K ) = ( w e. H |-> { s | ( s : ( ( LTrn ` K ) ` w ) --> ( ( LTrn ` K ) ` w ) /\ A. f e. ( ( LTrn ` K ) ` w ) A. g e. ( ( LTrn ` K ) ` w ) ( s ` ( f o. g ) ) = ( ( s ` f ) o. ( s ` g ) ) /\ A. f e. ( ( LTrn ` K ) ` w ) ( ( ( trL ` K ) ` w ) ` ( s ` f ) ) .<_ ( ( ( trL ` K ) ` w ) ` f ) ) } ) )
Distinct variable groups:   w, H   w, s, f, g, K
Allowed substitution hints:   H( f, g, s)   .<_ ( w, f, g, s)   V( w, f, g, s)
Proof of Theorem tendofset
Dummy variable k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3212 . 2 |- ( K e. V -> K e. _V )
2 fveq2 6191 . . . . 5 |- ( k = K -> ( LHyp ` k ) = ( LHyp ` K ) )
3 tendoset.h . . . . 5 |- H = ( LHyp ` K )
42, 3syl6eqr 2674 . . . 4 |- ( k = K -> ( LHyp ` k ) = H )
5 fveq2 6191 . . . . . . . 8 |- ( k = K -> ( LTrn ` k ) = ( LTrn ` K ) )
65fveq1d 6193 . . . . . . 7 |- ( k = K -> ( ( LTrn ` k ) ` w ) = ( ( LTrn ` K ) ` w ) )
76, 6feq23d 6040 . . . . . 6 |- ( k = K -> ( s : ( ( LTrn ` k ) ` w ) --> ( ( LTrn ` k ) ` w ) <-> s : ( ( LTrn ` K ) ` w ) --> ( ( LTrn ` K ) ` w ) ) )
86raleqdv 3144 . . . . . . 7 |- ( k = K -> ( A. g e. ( ( LTrn ` k ) ` w ) ( s ` ( f o. g ) ) = ( ( s ` f ) o. ( s ` g ) ) <-> A. g e. ( ( LTrn ` K ) ` w ) ( s ` ( f o. g ) ) = ( ( s ` f ) o. ( s ` g ) ) ) )
96, 8raleqbidv 3152 . . . . . 6 |- ( k = K -> ( A. f e. ( ( LTrn ` k ) ` w ) A. g e. ( ( LTrn ` k ) ` w ) ( s ` ( f o. g ) ) = ( ( s ` f ) o. ( s ` g ) ) <-> A. f e. ( ( LTrn ` K ) ` w ) A. g e. ( ( LTrn ` K ) ` w ) ( s ` ( f o. g ) ) = ( ( s ` f ) o. ( s ` g ) ) ) )
10 fveq2 6191 . . . . . . . . . 10 |- ( k = K -> ( trL ` k ) = ( trL ` K ) )
1110fveq1d 6193 . . . . . . . . 9 |- ( k = K -> ( ( trL ` k ) ` w ) = ( ( trL ` K ) ` w ) )
1211fveq1d 6193 . . . . . . . 8 |- ( k = K -> ( ( ( trL ` k ) ` w ) ` ( s ` f ) ) = ( ( ( trL ` K ) ` w ) ` ( s ` f ) ) )
13 fveq2 6191 . . . . . . . . 9 |- ( k = K -> ( le ` k ) = ( le ` K ) )
14 tendoset.l . . . . . . . . 9 |- .<_ = ( le ` K )
1513, 14syl6eqr 2674 . . . . . . . 8 |- ( k = K -> ( le ` k ) = .<_ )
1611fveq1d 6193 . . . . . . . 8 |- ( k = K -> ( ( ( trL ` k ) ` w ) ` f ) = ( ( ( trL ` K ) ` w ) ` f ) )
1712, 15, 16breq123d 4667 . . . . . . 7 |- ( k = K -> ( ( ( ( trL ` k ) ` w ) ` ( s ` f ) ) ( le ` k ) ( ( ( trL ` k ) ` w ) ` f ) <-> ( ( ( trL ` K ) ` w ) ` ( s ` f ) ) .<_ ( ( ( trL ` K ) ` w ) ` f ) ) )
186, 17raleqbidv 3152 . . . . . 6 |- ( k = K -> ( A. f e. ( ( LTrn ` k ) ` w ) ( ( ( trL ` k ) ` w ) ` ( s ` f ) ) ( le ` k ) ( ( ( trL ` k ) ` w ) ` f ) <-> A. f e. ( ( LTrn ` K ) ` w ) ( ( ( trL ` K ) ` w ) ` ( s ` f ) ) .<_ ( ( ( trL ` K ) ` w ) ` f ) ) )
197, 9, 183anbi123d 1399 . . . . 5 |- ( k = K -> ( ( s : ( ( LTrn ` k ) ` w ) --> ( ( LTrn ` k ) ` w ) /\ A. f e. ( ( LTrn ` k ) ` w ) A. g e. ( ( LTrn ` k ) ` w ) ( s ` ( f o. g ) ) = ( ( s ` f ) o. ( s ` g ) ) /\ A. f e. ( ( LTrn ` k ) ` w ) ( ( ( trL ` k ) ` w ) ` ( s ` f ) ) ( le ` k ) ( ( ( trL ` k ) ` w ) ` f ) ) <-> ( s : ( ( LTrn ` K ) ` w ) --> ( ( LTrn ` K ) ` w ) /\ A. f e. ( ( LTrn ` K ) ` w ) A. g e. ( ( LTrn ` K ) ` w ) ( s ` ( f o. g ) ) = ( ( s ` f ) o. ( s ` g ) ) /\ A. f e. ( ( LTrn ` K ) ` w ) ( ( ( trL ` K ) ` w ) ` ( s ` f ) ) .<_ ( ( ( trL ` K ) ` w ) ` f ) ) ) )
2019abbidv 2741 . . . 4 |- ( k = K -> { s | ( s : ( ( LTrn ` k ) ` w ) --> ( ( LTrn ` k ) ` w ) /\ A. f e. ( ( LTrn ` k ) ` w ) A. g e. ( ( LTrn ` k ) ` w ) ( s ` ( f o. g ) ) = ( ( s ` f ) o. ( s ` g ) ) /\ A. f e. ( ( LTrn ` k ) ` w ) ( ( ( trL ` k ) ` w ) ` ( s ` f ) ) ( le ` k ) ( ( ( trL ` k ) ` w ) ` f ) ) } = { s | ( s : ( ( LTrn ` K ) ` w ) --> ( ( LTrn ` K ) ` w ) /\ A. f e. ( ( LTrn ` K ) ` w ) A. g e. ( ( LTrn ` K ) ` w ) ( s ` ( f o. g ) ) = ( ( s ` f ) o. ( s ` g ) ) /\ A. f e. ( ( LTrn ` K ) ` w ) ( ( ( trL ` K ) ` w ) ` ( s ` f ) ) .<_ ( ( ( trL ` K ) ` w ) ` f ) ) } )
214, 20mpteq12dv 4733 . . 3 |- ( k = K -> ( w e. ( LHyp ` k ) |-> { s | ( s : ( ( LTrn ` k ) ` w ) --> ( ( LTrn ` k ) ` w ) /\ A. f e. ( ( LTrn ` k ) ` w ) A. g e. ( ( LTrn ` k ) ` w ) ( s ` ( f o. g ) ) = ( ( s ` f ) o. ( s ` g ) ) /\ A. f e. ( ( LTrn ` k ) ` w ) ( ( ( trL ` k ) ` w ) ` ( s ` f ) ) ( le ` k ) ( ( ( trL ` k ) ` w ) ` f ) ) } ) = ( w e. H |-> { s | ( s : ( ( LTrn ` K ) ` w ) --> ( ( LTrn ` K ) ` w ) /\ A. f e. ( ( LTrn ` K ) ` w ) A. g e. ( ( LTrn ` K ) ` w ) ( s ` ( f o. g ) ) = ( ( s ` f ) o. ( s ` g ) ) /\ A. f e. ( ( LTrn ` K ) ` w ) ( ( ( trL ` K ) ` w ) ` ( s ` f ) ) .<_ ( ( ( trL ` K ) ` w ) ` f ) ) } ) )
22 df-tendo 36043 . . 3 |- TEndo = ( k e. _V |-> ( w e. ( LHyp ` k ) |-> { s | ( s : ( ( LTrn ` k ) ` w ) --> ( ( LTrn ` k ) ` w ) /\ A. f e. ( ( LTrn ` k ) ` w ) A. g e. ( ( LTrn ` k ) ` w ) ( s ` ( f o. g ) ) = ( ( s ` f ) o. ( s ` g ) ) /\ A. f e. ( ( LTrn ` k ) ` w ) ( ( ( trL ` k ) ` w ) ` ( s ` f ) ) ( le ` k ) ( ( ( trL ` k ) ` w ) ` f ) ) } ) )
23 fvex 6201 . . . . 5 |- ( LHyp ` K ) e. _V
243, 23eqeltri 2697 . . . 4 |- H e. _V
2524mptex 6486 . . 3 |- ( w e. H |-> { s | ( s : ( ( LTrn ` K ) ` w ) --> ( ( LTrn ` K ) ` w ) /\ A. f e. ( ( LTrn ` K ) ` w ) A. g e. ( ( LTrn ` K ) ` w ) ( s ` ( f o. g ) ) = ( ( s ` f ) o. ( s ` g ) ) /\ A. f e. ( ( LTrn ` K ) ` w ) ( ( ( trL ` K ) ` w ) ` ( s ` f ) ) .<_ ( ( ( trL ` K ) ` w ) ` f ) ) } ) e. _V
2621, 22, 25fvmpt 6282 . 2 |- ( K e. _V -> ( TEndo ` K ) = ( w e. H |-> { s | ( s : ( ( LTrn ` K ) ` w ) --> ( ( LTrn ` K ) ` w ) /\ A. f e. ( ( LTrn ` K ) ` w ) A. g e. ( ( LTrn ` K ) ` w ) ( s ` ( f o. g ) ) = ( ( s ` f ) o. ( s ` g ) ) /\ A. f e. ( ( LTrn ` K ) ` w ) ( ( ( trL ` K ) ` w ) ` ( s ` f ) ) .<_ ( ( ( trL ` K ) ` w ) ` f ) ) } ) )
271, 26syl 17 1 |- ( K e. V -> ( TEndo ` K ) = ( w e. H |-> { s | ( s : ( ( LTrn ` K ) ` w ) --> ( ( LTrn ` K ) ` w ) /\ A. f e. ( ( LTrn ` K ) ` w ) A. g e. ( ( LTrn ` K ) ` w ) ( s ` ( f o. g ) ) = ( ( s ` f ) o. ( s ` g ) ) /\ A. f e. ( ( LTrn ` K ) ` w ) ( ( ( trL ` K ) ` w ) ` ( s ` f ) ) .<_ ( ( ( trL ` K ) ` w ) ` f ) ) } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   _Vcvv 3200   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   o. ccom 5118   -->wf 5884   ` cfv 5888   lecple 15948   LHypclh 35270   LTrncltrn 35387   trLctrl 35445   TEndoctendo 36040
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-tendo 36043
This theorem is referenced by:  tendoset  36047
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