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Theorem tendoset 36047
Description: The set of trace-preserving endomorphisms on the set of translations for a fiducial co-atom W. (Contributed by NM, 8-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendoset.l |- .<_ = ( le ` K )
tendoset.h |- H = ( LHyp ` K )
tendoset.t |- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
tendoset.r |- R = ( ( trL ` K ) ` W )
tendoset.e |- E = ( ( TEndo ` K ) ` W )
Assertion
Ref Expression
tendoset |- ( ( K e. V /\ W e. H ) -> E = { s | ( s : T --> T /\ A. f e. T A. g e. T ( s ` ( f o. g ) ) = ( ( s ` f ) o. ( s ` g ) ) /\ A. f e. T ( R ` ( s ` f ) ) .<_ ( R ` f ) ) } )
Distinct variable groups:   f, s, g, K   T, f, g, s   W, s, f, g
Allowed substitution hints:   R( f, g, s)   E( f, g, s)   H( f, g, s)   .<_ ( f, g, s)   V( f, g, s)
Proof of Theorem tendoset
Dummy variable w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tendoset.e . 2 |- E = ( ( TEndo ` K ) ` W )
2 tendoset.l . . . . 5 |- .<_ = ( le ` K )
3 tendoset.h . . . . 5 |- H = ( LHyp ` K )
42, 3tendofset 36046 . . . 4 |- ( K e. V -> ( TEndo ` K ) = ( w e. H |-> { s | ( s : ( ( LTrn ` K ) ` w ) --> ( ( LTrn ` K ) ` w ) /\ A. f e. ( ( LTrn ` K ) ` w ) A. g e. ( ( LTrn ` K ) ` w ) ( s ` ( f o. g ) ) = ( ( s ` f ) o. ( s ` g ) ) /\ A. f e. ( ( LTrn ` K ) ` w ) ( ( ( trL ` K ) ` w ) ` ( s ` f ) ) .<_ ( ( ( trL ` K ) ` w ) ` f ) ) } ) )
54fveq1d 6193 . . 3 |- ( K e. V -> ( ( TEndo ` K ) ` W ) = ( ( w e. H |-> { s | ( s : ( ( LTrn ` K ) ` w ) --> ( ( LTrn ` K ) ` w ) /\ A. f e. ( ( LTrn ` K ) ` w ) A. g e. ( ( LTrn ` K ) ` w ) ( s ` ( f o. g ) ) = ( ( s ` f ) o. ( s ` g ) ) /\ A. f e. ( ( LTrn ` K ) ` w ) ( ( ( trL ` K ) ` w ) ` ( s ` f ) ) .<_ ( ( ( trL ` K ) ` w ) ` f ) ) } ) ` W ) )
6 fveq2 6191 . . . . . . . 8 |- ( w = W -> ( ( LTrn ` K ) ` w ) = ( ( LTrn ` K ) ` W ) )
76, 6feq23d 6040 . . . . . . 7 |- ( w = W -> ( s : ( ( LTrn ` K ) ` w ) --> ( ( LTrn ` K ) ` w ) <-> s : ( ( LTrn ` K ) ` W ) --> ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) )
86raleqdv 3144 . . . . . . . 8 |- ( w = W -> ( A. g e. ( ( LTrn ` K ) ` w ) ( s ` ( f o. g ) ) = ( ( s ` f ) o. ( s ` g ) ) <-> A. g e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ( s ` ( f o. g ) ) = ( ( s ` f ) o. ( s ` g ) ) ) )
96, 8raleqbidv 3152 . . . . . . 7 |- ( w = W -> ( A. f e. ( ( LTrn ` K ) ` w ) A. g e. ( ( LTrn ` K ) ` w ) ( s ` ( f o. g ) ) = ( ( s ` f ) o. ( s ` g ) ) <-> A. f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) A. g e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ( s ` ( f o. g ) ) = ( ( s ` f ) o. ( s ` g ) ) ) )
10 fveq2 6191 . . . . . . . . . . 11 |- ( w = W -> ( ( trL ` K ) ` w ) = ( ( trL ` K ) ` W ) )
11 tendoset.r . . . . . . . . . . 11 |- R = ( ( trL ` K ) ` W )
1210, 11syl6eqr 2674 . . . . . . . . . 10 |- ( w = W -> ( ( trL ` K ) ` w ) = R )
1312fveq1d 6193 . . . . . . . . 9 |- ( w = W -> ( ( ( trL ` K ) ` w ) ` ( s ` f ) ) = ( R ` ( s ` f ) ) )
1412fveq1d 6193 . . . . . . . . 9 |- ( w = W -> ( ( ( trL ` K ) ` w ) ` f ) = ( R ` f ) )
1513, 14breq12d 4666 . . . . . . . 8 |- ( w = W -> ( ( ( ( trL ` K ) ` w ) ` ( s ` f ) ) .<_ ( ( ( trL ` K ) ` w ) ` f ) <-> ( R ` ( s ` f ) ) .<_ ( R ` f ) ) )
166, 15raleqbidv 3152 . . . . . . 7 |- ( w = W -> ( A. f e. ( ( LTrn ` K ) ` w ) ( ( ( trL ` K ) ` w ) ` ( s ` f ) ) .<_ ( ( ( trL ` K ) ` w ) ` f ) <-> A. f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ( R ` ( s ` f ) ) .<_ ( R ` f ) ) )
177, 9, 163anbi123d 1399 . . . . . 6 |- ( w = W -> ( ( s : ( ( LTrn ` K ) ` w ) --> ( ( LTrn ` K ) ` w ) /\ A. f e. ( ( LTrn ` K ) ` w ) A. g e. ( ( LTrn ` K ) ` w ) ( s ` ( f o. g ) ) = ( ( s ` f ) o. ( s ` g ) ) /\ A. f e. ( ( LTrn ` K ) ` w ) ( ( ( trL ` K ) ` w ) ` ( s ` f ) ) .<_ ( ( ( trL ` K ) ` w ) ` f ) ) <-> ( s : ( ( LTrn ` K ) ` W ) --> ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ A. f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) A. g e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ( s ` ( f o. g ) ) = ( ( s ` f ) o. ( s ` g ) ) /\ A. f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ( R ` ( s ` f ) ) .<_ ( R ` f ) ) ) )
1817abbidv 2741 . . . . 5 |- ( w = W -> { s | ( s : ( ( LTrn ` K ) ` w ) --> ( ( LTrn ` K ) ` w ) /\ A. f e. ( ( LTrn ` K ) ` w ) A. g e. ( ( LTrn ` K ) ` w ) ( s ` ( f o. g ) ) = ( ( s ` f ) o. ( s ` g ) ) /\ A. f e. ( ( LTrn ` K ) ` w ) ( ( ( trL ` K ) ` w ) ` ( s ` f ) ) .<_ ( ( ( trL ` K ) ` w ) ` f ) ) } = { s | ( s : ( ( LTrn ` K ) ` W ) --> ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ A. f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) A. g e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ( s ` ( f o. g ) ) = ( ( s ` f ) o. ( s ` g ) ) /\ A. f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ( R ` ( s ` f ) ) .<_ ( R ` f ) ) } )
19 eqid 2622 . . . . 5 |- ( w e. H |-> { s | ( s : ( ( LTrn ` K ) ` w ) --> ( ( LTrn ` K ) ` w ) /\ A. f e. ( ( LTrn ` K ) ` w ) A. g e. ( ( LTrn ` K ) ` w ) ( s ` ( f o. g ) ) = ( ( s ` f ) o. ( s ` g ) ) /\ A. f e. ( ( LTrn ` K ) ` w ) ( ( ( trL ` K ) ` w ) ` ( s ` f ) ) .<_ ( ( ( trL ` K ) ` w ) ` f ) ) } ) = ( w e. H |-> { s | ( s : ( ( LTrn ` K ) ` w ) --> ( ( LTrn ` K ) ` w ) /\ A. f e. ( ( LTrn ` K ) ` w ) A. g e. ( ( LTrn ` K ) ` w ) ( s ` ( f o. g ) ) = ( ( s ` f ) o. ( s ` g ) ) /\ A. f e. ( ( LTrn ` K ) ` w ) ( ( ( trL ` K ) ` w ) ` ( s ` f ) ) .<_ ( ( ( trL ` K ) ` w ) ` f ) ) } )
20 fvex 6201 . . . . . . . 8 |- ( ( LTrn ` K ) ` W ) e. _V
2120, 20mapval 7869 . . . . . . 7 |- ( ( ( LTrn ` K ) ` W ) ^m ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) = { s | s : ( ( LTrn ` K ) ` W ) --> ( ( LTrn ` K ) ` W ) }
22 ovex 6678 . . . . . . 7 |- ( ( ( LTrn ` K ) ` W ) ^m ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) e. _V
2321, 22eqeltrri 2698 . . . . . 6 |- { s | s : ( ( LTrn ` K ) ` W ) --> ( ( LTrn ` K ) ` W ) } e. _V
24 simp1 1061 . . . . . . 7 |- ( ( s : ( ( LTrn ` K ) ` W ) --> ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ A. f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) A. g e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ( s ` ( f o. g ) ) = ( ( s ` f ) o. ( s ` g ) ) /\ A. f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ( R ` ( s ` f ) ) .<_ ( R ` f ) ) -> s : ( ( LTrn ` K ) ` W ) --> ( ( LTrn ` K ) ` W ) )
2524ss2abi 3674 . . . . . 6 |- { s | ( s : ( ( LTrn ` K ) ` W ) --> ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ A. f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) A. g e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ( s ` ( f o. g ) ) = ( ( s ` f ) o. ( s ` g ) ) /\ A. f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ( R ` ( s ` f ) ) .<_ ( R ` f ) ) } C_ { s | s : ( ( LTrn ` K ) ` W ) --> ( ( LTrn ` K ) ` W ) }
2623, 25ssexi 4803 . . . . 5 |- { s | ( s : ( ( LTrn ` K ) ` W ) --> ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ A. f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) A. g e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ( s ` ( f o. g ) ) = ( ( s ` f ) o. ( s ` g ) ) /\ A. f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ( R ` ( s ` f ) ) .<_ ( R ` f ) ) } e. _V
2718, 19, 26fvmpt 6282 . . . 4 |- ( W e. H -> ( ( w e. H |-> { s | ( s : ( ( LTrn ` K ) ` w ) --> ( ( LTrn ` K ) ` w ) /\ A. f e. ( ( LTrn ` K ) ` w ) A. g e. ( ( LTrn ` K ) ` w ) ( s ` ( f o. g ) ) = ( ( s ` f ) o. ( s ` g ) ) /\ A. f e. ( ( LTrn ` K ) ` w ) ( ( ( trL ` K ) ` w ) ` ( s ` f ) ) .<_ ( ( ( trL ` K ) ` w ) ` f ) ) } ) ` W ) = { s | ( s : ( ( LTrn ` K ) ` W ) --> ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ A. f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) A. g e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ( s ` ( f o. g ) ) = ( ( s ` f ) o. ( s ` g ) ) /\ A. f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ( R ` ( s ` f ) ) .<_ ( R ` f ) ) } )
28 tendoset.t . . . . . . 7 |- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
2928, 28feq23i 6039 . . . . . 6 |- ( s : T --> T <-> s : ( ( LTrn ` K ) ` W ) --> ( ( LTrn ` K ) ` W ) )
3028raleqi 3142 . . . . . . 7 |- ( A. g e. T ( s ` ( f o. g ) ) = ( ( s ` f ) o. ( s ` g ) ) <-> A. g e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ( s ` ( f o. g ) ) = ( ( s ` f ) o. ( s ` g ) ) )
3128, 30raleqbii 2990 . . . . . 6 |- ( A. f e. T A. g e. T ( s ` ( f o. g ) ) = ( ( s ` f ) o. ( s ` g ) ) <-> A. f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) A. g e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ( s ` ( f o. g ) ) = ( ( s ` f ) o. ( s ` g ) ) )
3228raleqi 3142 . . . . . 6 |- ( A. f e. T ( R ` ( s ` f ) ) .<_ ( R ` f ) <-> A. f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ( R ` ( s ` f ) ) .<_ ( R ` f ) )
3329, 31, 323anbi123i 1251 . . . . 5 |- ( ( s : T --> T /\ A. f e. T A. g e. T ( s ` ( f o. g ) ) = ( ( s ` f ) o. ( s ` g ) ) /\ A. f e. T ( R ` ( s ` f ) ) .<_ ( R ` f ) ) <-> ( s : ( ( LTrn ` K ) ` W ) --> ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ A. f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) A. g e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ( s ` ( f o. g ) ) = ( ( s ` f ) o. ( s ` g ) ) /\ A. f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ( R ` ( s ` f ) ) .<_ ( R ` f ) ) )
3433abbii 2739 . . . 4 |- { s | ( s : T --> T /\ A. f e. T A. g e. T ( s ` ( f o. g ) ) = ( ( s ` f ) o. ( s ` g ) ) /\ A. f e. T ( R ` ( s ` f ) ) .<_ ( R ` f ) ) } = { s | ( s : ( ( LTrn ` K ) ` W ) --> ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ A. f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) A. g e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ( s ` ( f o. g ) ) = ( ( s ` f ) o. ( s ` g ) ) /\ A. f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ( R ` ( s ` f ) ) .<_ ( R ` f ) ) }
3527, 34syl6eqr 2674 . . 3 |- ( W e. H -> ( ( w e. H |-> { s | ( s : ( ( LTrn ` K ) ` w ) --> ( ( LTrn ` K ) ` w ) /\ A. f e. ( ( LTrn ` K ) ` w ) A. g e. ( ( LTrn ` K ) ` w ) ( s ` ( f o. g ) ) = ( ( s ` f ) o. ( s ` g ) ) /\ A. f e. ( ( LTrn ` K ) ` w ) ( ( ( trL ` K ) ` w ) ` ( s ` f ) ) .<_ ( ( ( trL ` K ) ` w ) ` f ) ) } ) ` W ) = { s | ( s : T --> T /\ A. f e. T A. g e. T ( s ` ( f o. g ) ) = ( ( s ` f ) o. ( s ` g ) ) /\ A. f e. T ( R ` ( s ` f ) ) .<_ ( R ` f ) ) } )
365, 35sylan9eq 2676 . 2 |- ( ( K e. V /\ W e. H ) -> ( ( TEndo ` K ) ` W ) = { s | ( s : T --> T /\ A. f e. T A. g e. T ( s ` ( f o. g ) ) = ( ( s ` f ) o. ( s ` g ) ) /\ A. f e. T ( R ` ( s ` f ) ) .<_ ( R ` f ) ) } )
371, 36syl5eq 2668 1 |- ( ( K e. V /\ W e. H ) -> E = { s | ( s : T --> T /\ A. f e. T A. g e. T ( s ` ( f o. g ) ) = ( ( s ` f ) o. ( s ` g ) ) /\ A. f e. T ( R ` ( s ` f ) ) .<_ ( R ` f ) ) } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   _Vcvv 3200   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   o. ccom 5118   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   lecple 15948   LHypclh 35270   LTrncltrn 35387   trLctrl 35445   TEndoctendo 36040
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-map 7859  df-tendo 36043
This theorem is referenced by:  istendo  36048
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