Theorem uniiunlem 3691

Description: A subset relationship useful for converting union to indexed union using dfiun2 4554 or dfiun2g 4552 and intersection to indexed intersection using dfiin2 4555. (Contributed by NM, 5-Oct-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
uniiunlem	|- ( A. x e. A B e. D -> ( A. x e. A B e. C <-> { y | E. x e. A y = B } C_ C ) )

Distinct variable groups:   x, y   y, A   y, B   x, C

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x)   C( y)   D( x, y)

Proof of Theorem uniiunlem

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq1 2626	. . . . . 6 |- ( y = z -> ( y = B <-> z = B ) )
2	1	rexbidv 3052	. . . . 5 |- ( y = z -> ( E. x e. A y = B <-> E. x e. A z = B ) )
3	2	cbvabv 2747	. . . 4 |- { y | E. x e. A y = B } = { z | E. x e. A z = B }
4	3	sseq1i 3629	. . 3 |- ( { y | E. x e. A y = B } C_ C <-> { z | E. x e. A z = B } C_ C )
5		r19.23v 3023	. . . . 5 |- ( A. x e. A ( z = B -> z e. C ) <-> ( E. x e. A z = B -> z e. C ) )
6	5	albii 1747	. . . 4 |- ( A. z A. x e. A ( z = B -> z e. C ) <-> A. z ( E. x e. A z = B -> z e. C ) )
7		ralcom4 3224	. . . 4 |- ( A. x e. A A. z ( z = B -> z e. C ) <-> A. z A. x e. A ( z = B -> z e. C ) )
8		abss 3671	. . . 4 |- ( { z | E. x e. A z = B } C_ C <-> A. z ( E. x e. A z = B -> z e. C ) )
9	6, 7, 8	3bitr4i 292	. . 3 |- ( A. x e. A A. z ( z = B -> z e. C ) <-> { z | E. x e. A z = B } C_ C )
10	4, 9	bitr4i 267	. 2 |- ( { y | E. x e. A y = B } C_ C <-> A. x e. A A. z ( z = B -> z e. C ) )
11		nfv 1843	. . . . 5 |- F/ z B e. C
12		eleq1 2689	. . . . 5 |- ( z = B -> ( z e. C <-> B e. C ) )
13	11, 12	ceqsalg 3230	. . . 4 |- ( B e. D -> ( A. z ( z = B -> z e. C ) <-> B e. C ) )
14	13	ralimi 2952	. . 3 |- ( A. x e. A B e. D -> A. x e. A ( A. z ( z = B -> z e. C ) <-> B e. C ) )
15		ralbi 3068	. . 3 |- ( A. x e. A ( A. z ( z = B -> z e. C ) <-> B e. C ) -> ( A. x e. A A. z ( z = B -> z e. C ) <-> A. x e. A B e. C ) )
16	14, 15	syl 17	. 2 |- ( A. x e. A B e. D -> ( A. x e. A A. z ( z = B -> z e. C ) <-> A. x e. A B e. C ) )
17	10, 16	syl5rbb 273	1 |- ( A. x e. A B e. D -> ( A. x e. A B e. C <-> { y | E. x e. A y = B } C_ C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   A.wal 1481   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-v 3202  df-in 3581  df-ss 3588

This theorem is referenced by:  mreiincl  16256  iunopn  20703  sigaclci  30195  dihglblem5  36587