Theorem sigaclci 30195

Description: A sigma-algebra is closed under countable intersections. Deduction version. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
sigaclci	|- ( ( ( S e. U. ran sigAlgebra /\ A e. ~P S ) /\ ( A ~<_ om /\ A =/= (/) ) ) -> |^| A e. S )

Proof of Theorem sigaclci

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isrnsigau 30190	. . . . . . . 8 |- ( S e. U. ran sigAlgebra -> ( S C_ ~P U. S /\ ( U. S e. S /\ A. x e. S ( U. S \ x ) e. S /\ A. x e. ~P S ( x ~<_ om -> U. x e. S ) ) ) )
2	1	simprd 479	. . . . . . 7 |- ( S e. U. ran sigAlgebra -> ( U. S e. S /\ A. x e. S ( U. S \ x ) e. S /\ A. x e. ~P S ( x ~<_ om -> U. x e. S ) ) )
3	2	simp2d 1074	. . . . . 6 |- ( S e. U. ran sigAlgebra -> A. x e. S ( U. S \ x ) e. S )
4	3	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( S e. U. ran sigAlgebra /\ A e. ~P S ) -> A. x e. S ( U. S \ x ) e. S )
5		elpwi 4168	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ~P S -> A C_ S )
6		ssrexv 3667	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A C_ S -> ( E. z e. A y = ( U. S \ z ) -> E. z e. S y = ( U. S \ z ) ) )
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ~P S -> ( E. z e. A y = ( U. S \ z ) -> E. z e. S y = ( U. S \ z ) ) )
8	7	ss2abdv 3675	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ~P S -> { y | E. z e. A y = ( U. S \ z ) } C_ { y | E. z e. S y = ( U. S \ z ) } )
9		isrnsigau 30190	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( S e. U. ran sigAlgebra -> ( S C_ ~P U. S /\ ( U. S e. S /\ A. z e. S ( U. S \ z ) e. S /\ A. z e. ~P S ( z ~<_ om -> U. z e. S ) ) ) )
10	9	simprd 479	. . . . . . . . . . . 12 |- ( S e. U. ran sigAlgebra -> ( U. S e. S /\ A. z e. S ( U. S \ z ) e. S /\ A. z e. ~P S ( z ~<_ om -> U. z e. S ) ) )
11	10	simp2d 1074	. . . . . . . . . . 11 |- ( S e. U. ran sigAlgebra -> A. z e. S ( U. S \ z ) e. S )
12		uniiunlem 3691	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. z e. S ( U. S \ z ) e. S -> ( A. z e. S ( U. S \ z ) e. S <-> { y | E. z e. S y = ( U. S \ z ) } C_ S ) )
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( S e. U. ran sigAlgebra -> ( A. z e. S ( U. S \ z ) e. S <-> { y | E. z e. S y = ( U. S \ z ) } C_ S ) )
14	11, 13	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 |- ( S e. U. ran sigAlgebra -> { y | E. z e. S y = ( U. S \ z ) } C_ S )
15	8, 14	sylan9ssr 3617	. . . . . . . . 9 |- ( ( S e. U. ran sigAlgebra /\ A e. ~P S ) -> { y | E. z e. A y = ( U. S \ z ) } C_ S )
16		abrexexg 7140	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ~P S -> { y | E. z e. A y = ( U. S \ z ) } e. _V )
17		elpwg 4166	. . . . . . . . . . 11 |- ( { y | E. z e. A y = ( U. S \ z ) } e. _V -> ( { y | E. z e. A y = ( U. S \ z ) } e. ~P S <-> { y | E. z e. A y = ( U. S \ z ) } C_ S ) )
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ~P S -> ( { y | E. z e. A y = ( U. S \ z ) } e. ~P S <-> { y | E. z e. A y = ( U. S \ z ) } C_ S ) )
19	18	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( S e. U. ran sigAlgebra /\ A e. ~P S ) -> ( { y | E. z e. A y = ( U. S \ z ) } e. ~P S <-> { y | E. z e. A y = ( U. S \ z ) } C_ S ) )
20	15, 19	mpbird 247	. . . . . . . 8 |- ( ( S e. U. ran sigAlgebra /\ A e. ~P S ) -> { y | E. z e. A y = ( U. S \ z ) } e. ~P S )
21	2	simp3d 1075	. . . . . . . . 9 |- ( S e. U. ran sigAlgebra -> A. x e. ~P S ( x ~<_ om -> U. x e. S ) )
22	21	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( S e. U. ran sigAlgebra /\ A e. ~P S ) -> A. x e. ~P S ( x ~<_ om -> U. x e. S ) )
23	20, 22	jca 554	. . . . . . 7 |- ( ( S e. U. ran sigAlgebra /\ A e. ~P S ) -> ( { y | E. z e. A y = ( U. S \ z ) } e. ~P S /\ A. x e. ~P S ( x ~<_ om -> U. x e. S ) ) )
24		abrexdom2jm 29346	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ~P S -> { y | E. z e. A y = ( U. S \ z ) } ~<_ A )
25		domtr 8009	. . . . . . . . . 10 |- ( ( { y | E. z e. A y = ( U. S \ z ) } ~<_ A /\ A ~<_ om ) -> { y | E. z e. A y = ( U. S \ z ) } ~<_ om )
26	24, 25	sylan 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ~P S /\ A ~<_ om ) -> { y | E. z e. A y = ( U. S \ z ) } ~<_ om )
27	26	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( A e. ~P S -> ( A ~<_ om -> { y | E. z e. A y = ( U. S \ z ) } ~<_ om ) )
28	27	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( S e. U. ran sigAlgebra /\ A e. ~P S ) -> ( A ~<_ om -> { y | E. z e. A y = ( U. S \ z ) } ~<_ om ) )
29		breq1 4656	. . . . . . . . 9 |- ( x = { y | E. z e. A y = ( U. S \ z ) } -> ( x ~<_ om <-> { y | E. z e. A y = ( U. S \ z ) } ~<_ om ) )
30		unieq 4444	. . . . . . . . . 10 |- ( x = { y | E. z e. A y = ( U. S \ z ) } -> U. x = U. { y | E. z e. A y = ( U. S \ z ) } )
31	30	eleq1d 2686	. . . . . . . . 9 |- ( x = { y | E. z e. A y = ( U. S \ z ) } -> ( U. x e. S <-> U. { y | E. z e. A y = ( U. S \ z ) } e. S ) )
32	29, 31	imbi12d 334	. . . . . . . 8 |- ( x = { y | E. z e. A y = ( U. S \ z ) } -> ( ( x ~<_ om -> U. x e. S ) <-> ( { y | E. z e. A y = ( U. S \ z ) } ~<_ om -> U. { y | E. z e. A y = ( U. S \ z ) } e. S ) ) )
33	32	rspcva 3307	. . . . . . 7 |- ( ( { y | E. z e. A y = ( U. S \ z ) } e. ~P S /\ A. x e. ~P S ( x ~<_ om -> U. x e. S ) ) -> ( { y | E. z e. A y = ( U. S \ z ) } ~<_ om -> U. { y | E. z e. A y = ( U. S \ z ) } e. S ) )
34	23, 28, 33	sylsyld 61	. . . . . 6 |- ( ( S e. U. ran sigAlgebra /\ A e. ~P S ) -> ( A ~<_ om -> U. { y | E. z e. A y = ( U. S \ z ) } e. S ) )
35	5	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( S e. U. ran sigAlgebra /\ A e. ~P S ) -> A C_ S )
36	11	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( S e. U. ran sigAlgebra /\ A e. ~P S ) -> A. z e. S ( U. S \ z ) e. S )
37		ssralv 3666	. . . . . . . 8 |- ( A C_ S -> ( A. z e. S ( U. S \ z ) e. S -> A. z e. A ( U. S \ z ) e. S ) )
38	35, 36, 37	sylc 65	. . . . . . 7 |- ( ( S e. U. ran sigAlgebra /\ A e. ~P S ) -> A. z e. A ( U. S \ z ) e. S )
39		dfiun2g 4552	. . . . . . 7 |- ( A. z e. A ( U. S \ z ) e. S -> U_ z e. A ( U. S \ z ) = U. { y | E. z e. A y = ( U. S \ z ) } )
40		eleq1 2689	. . . . . . 7 |- ( U_ z e. A ( U. S \ z ) = U. { y | E. z e. A y = ( U. S \ z ) } -> ( U_ z e. A ( U. S \ z ) e. S <-> U. { y | E. z e. A y = ( U. S \ z ) } e. S ) )
41	38, 39, 40	3syl 18	. . . . . 6 |- ( ( S e. U. ran sigAlgebra /\ A e. ~P S ) -> ( U_ z e. A ( U. S \ z ) e. S <-> U. { y | E. z e. A y = ( U. S \ z ) } e. S ) )
42	34, 41	sylibrd 249	. . . . 5 |- ( ( S e. U. ran sigAlgebra /\ A e. ~P S ) -> ( A ~<_ om -> U_ z e. A ( U. S \ z ) e. S ) )
43		difeq2 3722	. . . . . . 7 |- ( x = U_ z e. A ( U. S \ z ) -> ( U. S \ x ) = ( U. S \ U_ z e. A ( U. S \ z ) ) )
44	43	eleq1d 2686	. . . . . 6 |- ( x = U_ z e. A ( U. S \ z ) -> ( ( U. S \ x ) e. S <-> ( U. S \ U_ z e. A ( U. S \ z ) ) e. S ) )
45	44	rspccv 3306	. . . . 5 |- ( A. x e. S ( U. S \ x ) e. S -> ( U_ z e. A ( U. S \ z ) e. S -> ( U. S \ U_ z e. A ( U. S \ z ) ) e. S ) )
46	4, 42, 45	sylsyld 61	. . . 4 |- ( ( S e. U. ran sigAlgebra /\ A e. ~P S ) -> ( A ~<_ om -> ( U. S \ U_ z e. A ( U. S \ z ) ) e. S ) )
47	46	adantrd 484	. . 3 |- ( ( S e. U. ran sigAlgebra /\ A e. ~P S ) -> ( ( A ~<_ om /\ A =/= (/) ) -> ( U. S \ U_ z e. A ( U. S \ z ) ) e. S ) )
48	47	imp 445	. 2 |- ( ( ( S e. U. ran sigAlgebra /\ A e. ~P S ) /\ ( A ~<_ om /\ A =/= (/) ) ) -> ( U. S \ U_ z e. A ( U. S \ z ) ) e. S )
49		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( S e. U. ran sigAlgebra /\ A e. ~P S ) -> A e. ~P S )
50		pwuni 4474	. . . . . . 7 |- S C_ ~P U. S
51	5, 50	syl6ss 3615	. . . . . 6 |- ( A e. ~P S -> A C_ ~P U. S )
52		iundifdifd 29380	. . . . . 6 |- ( A C_ ~P U. S -> ( A =/= (/) -> |^| A = ( U. S \ U_ z e. A ( U. S \ z ) ) ) )
53	49, 51, 52	3syl 18	. . . . 5 |- ( ( S e. U. ran sigAlgebra /\ A e. ~P S ) -> ( A =/= (/) -> |^| A = ( U. S \ U_ z e. A ( U. S \ z ) ) ) )
54	53	adantld 483	. . . 4 |- ( ( S e. U. ran sigAlgebra /\ A e. ~P S ) -> ( ( A ~<_ om /\ A =/= (/) ) -> |^| A = ( U. S \ U_ z e. A ( U. S \ z ) ) ) )
55		eleq1 2689	. . . 4 |- ( |^| A = ( U. S \ U_ z e. A ( U. S \ z ) ) -> ( |^| A e. S <-> ( U. S \ U_ z e. A ( U. S \ z ) ) e. S ) )
56	54, 55	syl6 35	. . 3 |- ( ( S e. U. ran sigAlgebra /\ A e. ~P S ) -> ( ( A ~<_ om /\ A =/= (/) ) -> ( |^| A e. S <-> ( U. S \ U_ z e. A ( U. S \ z ) ) e. S ) ) )
57	56	imp 445	. 2 |- ( ( ( S e. U. ran sigAlgebra /\ A e. ~P S ) /\ ( A ~<_ om /\ A =/= (/) ) ) -> ( |^| A e. S <-> ( U. S \ U_ z e. A ( U. S \ z ) ) e. S ) )
58	48, 57	mpbird 247	1 |- ( ( ( S e. U. ran sigAlgebra /\ A e. ~P S ) /\ ( A ~<_ om /\ A =/= (/) ) ) -> |^| A e. S )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   |^|cint 4475   U_ciun 4520   class class class wbr 4653   ran crn 5115   omcom 7065   ~<_ cdom 7953  sigAlgebracsiga 30170

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-ac2 9285

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-card 8765  df-acn 8768  df-ac 8939  df-siga 30171

This theorem is referenced by:  difelsiga  30196  sigapisys  30218