Theorem mreiincl 16256

Description: A nonempty indexed intersection of closed sets is closed. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
mreiincl	|- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ I =/= (/) /\ A. y e. I S e. C ) -> |^|_ y e. I S e. C )

Distinct variable groups:   y, I   y, X   y, C

Allowed substitution hint:   S( y)

Proof of Theorem mreiincl

Dummy variable s is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfiin2g 4553	. . 3 |- ( A. y e. I S e. C -> |^|_ y e. I S = |^| { s | E. y e. I s = S } )
2	1	3ad2ant3 1084	. 2 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ I =/= (/) /\ A. y e. I S e. C ) -> |^|_ y e. I S = |^| { s | E. y e. I s = S } )
3		simp1 1061	. . 3 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ I =/= (/) /\ A. y e. I S e. C ) -> C e. (Moore ` X ) )
4		uniiunlem 3691	. . . . 5 |- ( A. y e. I S e. C -> ( A. y e. I S e. C <-> { s | E. y e. I s = S } C_ C ) )
5	4	ibi 256	. . . 4 |- ( A. y e. I S e. C -> { s | E. y e. I s = S } C_ C )
6	5	3ad2ant3 1084	. . 3 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ I =/= (/) /\ A. y e. I S e. C ) -> { s | E. y e. I s = S } C_ C )
7		n0 3931	. . . . . 6 |- ( I =/= (/) <-> E. y y e. I )
8		nfra1 2941	. . . . . . . 8 |- F/ y A. y e. I S e. C
9		nfre1 3005	. . . . . . . . . 10 |- F/ y E. y e. I s = S
10	9	nfab 2769	. . . . . . . . 9 |- F/_ y { s | E. y e. I s = S }
11		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ y (/)
12	10, 11	nfne 2894	. . . . . . . 8 |- F/ y { s | E. y e. I s = S } =/= (/)
13	8, 12	nfim 1825	. . . . . . 7 |- F/ y ( A. y e. I S e. C -> { s | E. y e. I s = S } =/= (/) )
14		rsp 2929	. . . . . . . . . 10 |- ( A. y e. I S e. C -> ( y e. I -> S e. C ) )
15	14	com12 32	. . . . . . . . 9 |- ( y e. I -> ( A. y e. I S e. C -> S e. C ) )
16		elisset 3215	. . . . . . . . . . 11 |- ( S e. C -> E. s s = S )
17		rspe 3003	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. I /\ E. s s = S ) -> E. y e. I E. s s = S )
18	17	ex 450	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. I -> ( E. s s = S -> E. y e. I E. s s = S ) )
19	16, 18	syl5 34	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. I -> ( S e. C -> E. y e. I E. s s = S ) )
20		rexcom4 3225	. . . . . . . . . 10 |- ( E. y e. I E. s s = S <-> E. s E. y e. I s = S )
21	19, 20	syl6ib 241	. . . . . . . . 9 |- ( y e. I -> ( S e. C -> E. s E. y e. I s = S ) )
22	15, 21	syld 47	. . . . . . . 8 |- ( y e. I -> ( A. y e. I S e. C -> E. s E. y e. I s = S ) )
23		abn0 3954	. . . . . . . 8 |- ( { s | E. y e. I s = S } =/= (/) <-> E. s E. y e. I s = S )
24	22, 23	syl6ibr 242	. . . . . . 7 |- ( y e. I -> ( A. y e. I S e. C -> { s | E. y e. I s = S } =/= (/) ) )
25	13, 24	exlimi 2086	. . . . . 6 |- ( E. y y e. I -> ( A. y e. I S e. C -> { s | E. y e. I s = S } =/= (/) ) )
26	7, 25	sylbi 207	. . . . 5 |- ( I =/= (/) -> ( A. y e. I S e. C -> { s | E. y e. I s = S } =/= (/) ) )
27	26	imp 445	. . . 4 |- ( ( I =/= (/) /\ A. y e. I S e. C ) -> { s | E. y e. I s = S } =/= (/) )
28	27	3adant1 1079	. . 3 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ I =/= (/) /\ A. y e. I S e. C ) -> { s | E. y e. I s = S } =/= (/) )
29		mreintcl 16255	. . 3 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ { s | E. y e. I s = S } C_ C /\ { s | E. y e. I s = S } =/= (/) ) -> |^| { s | E. y e. I s = S } e. C )
30	3, 6, 28, 29	syl3anc 1326	. 2 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ I =/= (/) /\ A. y e. I S e. C ) -> |^| { s | E. y e. I s = S } e. C )
31	2, 30	eqeltrd 2701	1 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ I =/= (/) /\ A. y e. I S e. C ) -> |^|_ y e. I S e. C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   {cab 2608   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   (/)c0 3915   |^|cint 4475   |^|_ciin 4521   ` cfv 5888  Moorecmre 16242

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-mre 16246

This theorem is referenced by:  mreriincl  16258  mretopd  20896