Theorem uniopel 4978

Description: Ordered pair membership is inherited by class union. (Contributed by NM, 13-May-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
opthw.1	|- A e. _V
opthw.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
uniopel	|- ( <. A , B >. e. C -> U. <. A , B >. e. U. C )

Proof of Theorem uniopel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opthw.1	. . . 4 |- A e. _V
2		opthw.2	. . . 4 |- B e. _V
3	1, 2	uniop 4977	. . 3 |- U. <. A , B >. = { A , B }
4	1, 2	opi2 4938	. . 3 |- { A , B } e. <. A , B >.
5	3, 4	eqeltri 2697	. 2 |- U. <. A , B >. e. <. A , B >.
6		elssuni 4467	. . 3 |- ( <. A , B >. e. C -> <. A , B >. C_ U. C )
7	6	sseld 3602	. 2 |- ( <. A , B >. e. C -> ( U. <. A , B >. e. <. A , B >. -> U. <. A , B >. e. U. C ) )
8	5, 7	mpi 20	1 |- ( <. A , B >. e. C -> U. <. A , B >. e. U. C )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   {cpr 4179   <.cop 4183   U.cuni 4436

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-rex 2918  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437

This theorem is referenced by:  dmrnssfld  5384  unielrel  5660