Theorem dmrnssfld 5384

Description: The domain and range of a class are included in its double union. (Contributed by NM, 13-May-2008.)

Assertion

Ref	Expression
dmrnssfld	|- ( dom A u. ran A ) C_ U. U. A

Proof of Theorem dmrnssfld

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3203	. . . . 5 |- x e. _V
2	1	eldm2 5322	. . . 4 |- ( x e. dom A <-> E. y <. x , y >. e. A )
3	1	prid1 4297	. . . . . 6 |- x e. { x , y }
4		vex 3203	. . . . . . . . . 10 |- y e. _V
5	1, 4	uniop 4977	. . . . . . . . 9 |- U. <. x , y >. = { x , y }
6	1, 4	uniopel 4978	. . . . . . . . 9 |- ( <. x , y >. e. A -> U. <. x , y >. e. U. A )
7	5, 6	syl5eqelr 2706	. . . . . . . 8 |- ( <. x , y >. e. A -> { x , y } e. U. A )
8		elssuni 4467	. . . . . . . 8 |- ( { x , y } e. U. A -> { x , y } C_ U. U. A )
9	7, 8	syl 17	. . . . . . 7 |- ( <. x , y >. e. A -> { x , y } C_ U. U. A )
10	9	sseld 3602	. . . . . 6 |- ( <. x , y >. e. A -> ( x e. { x , y } -> x e. U. U. A ) )
11	3, 10	mpi 20	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. A -> x e. U. U. A )
12	11	exlimiv 1858	. . . 4 |- ( E. y <. x , y >. e. A -> x e. U. U. A )
13	2, 12	sylbi 207	. . 3 |- ( x e. dom A -> x e. U. U. A )
14	13	ssriv 3607	. 2 |- dom A C_ U. U. A
15	4	elrn2 5365	. . . 4 |- ( y e. ran A <-> E. x <. x , y >. e. A )
16	4	prid2 4298	. . . . . 6 |- y e. { x , y }
17	9	sseld 3602	. . . . . 6 |- ( <. x , y >. e. A -> ( y e. { x , y } -> y e. U. U. A ) )
18	16, 17	mpi 20	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. A -> y e. U. U. A )
19	18	exlimiv 1858	. . . 4 |- ( E. x <. x , y >. e. A -> y e. U. U. A )
20	15, 19	sylbi 207	. . 3 |- ( y e. ran A -> y e. U. U. A )
21	20	ssriv 3607	. 2 |- ran A C_ U. U. A
22	14, 21	unssi 3788	1 |- ( dom A u. ran A ) C_ U. U. A

Syntax hints:   E.wex 1704   e. wcel 1990   u. cun 3572   C_ wss 3574   {cpr 4179   <.cop 4183   U.cuni 4436   dom cdm 5114   ran crn 5115

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-cnv 5122  df-dm 5124  df-rn 5125

This theorem is referenced by:  relfld  5661  relcoi2  5663  dmexg  7097  rnexg  7098  wundm  9550  wunrn  9551  relexpdm  13783  relexprn  13787  relexpfld  13789  psdmrn  17207  dirdm  17234  dirge  17237  tailf  32370  filnetlem3  32375