Theorem vvdifopab 34024

Description: Ordered-pair class abstraction defined by a negation. (Contributed by Peter Mazsa, 25-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
vvdifopab	|- ( ( _V X. _V ) \ { <. x , y >. | ph } ) = { <. x , y >. | -. ph }

Distinct variable group:   x, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem vvdifopab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opabid 4982	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. { <. x , y >. | ph } <-> ph )
2	1	notbii 310	. . . 4 |- ( -. <. x , y >. e. { <. x , y >. | ph } <-> -. ph )
3		opelvvdif 34023	. . . . 5 |- ( ( x e. _V /\ y e. _V ) -> ( <. x , y >. e. ( ( _V X. _V ) \ { <. x , y >. | ph } ) <-> -. <. x , y >. e. { <. x , y >. | ph } ) )
4	3	el2v 33984	. . . 4 |- ( <. x , y >. e. ( ( _V X. _V ) \ { <. x , y >. | ph } ) <-> -. <. x , y >. e. { <. x , y >. | ph } )
5		opabid 4982	. . . 4 |- ( <. x , y >. e. { <. x , y >. | -. ph } <-> -. ph )
6	2, 4, 5	3bitr4i 292	. . 3 |- ( <. x , y >. e. ( ( _V X. _V ) \ { <. x , y >. | ph } ) <-> <. x , y >. e. { <. x , y >. | -. ph } )
7	6	gen2 1723	. 2 |- A. x A. y ( <. x , y >. e. ( ( _V X. _V ) \ { <. x , y >. | ph } ) <-> <. x , y >. e. { <. x , y >. | -. ph } )
8		relxp 5227	. . . 4 |- Rel ( _V X. _V )
9		reldif 5238	. . . 4 |- ( Rel ( _V X. _V ) -> Rel ( ( _V X. _V ) \ { <. x , y >. | ph } ) )
10	8, 9	ax-mp 5	. . 3 |- Rel ( ( _V X. _V ) \ { <. x , y >. | ph } )
11		relopab 5247	. . 3 |- Rel { <. x , y >. | -. ph }
12		nfcv 2764	. . . . 5 |- F/_ x ( _V X. _V )
13		nfopab1 4719	. . . . 5 |- F/_ x { <. x , y >. | ph }
14	12, 13	nfdif 3731	. . . 4 |- F/_ x ( ( _V X. _V ) \ { <. x , y >. | ph } )
15		nfopab1 4719	. . . 4 |- F/_ x { <. x , y >. | -. ph }
16		nfcv 2764	. . . . 5 |- F/_ y ( _V X. _V )
17		nfopab2 4720	. . . . 5 |- F/_ y { <. x , y >. | ph }
18	16, 17	nfdif 3731	. . . 4 |- F/_ y ( ( _V X. _V ) \ { <. x , y >. | ph } )
19		nfopab2 4720	. . . 4 |- F/_ y { <. x , y >. | -. ph }
20	14, 15, 18, 19	eqrelf 34020	. . 3 |- ( ( Rel ( ( _V X. _V ) \ { <. x , y >. | ph } ) /\ Rel { <. x , y >. | -. ph } ) -> ( ( ( _V X. _V ) \ { <. x , y >. | ph } ) = { <. x , y >. | -. ph } <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. ( ( _V X. _V ) \ { <. x , y >. | ph } ) <-> <. x , y >. e. { <. x , y >. | -. ph } ) ) )
21	10, 11, 20	mp2an 708	. 2 |- ( ( ( _V X. _V ) \ { <. x , y >. | ph } ) = { <. x , y >. | -. ph } <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. ( ( _V X. _V ) \ { <. x , y >. | ph } ) <-> <. x , y >. e. { <. x , y >. | -. ph } ) )
22	7, 21	mpbir 221	1 |- ( ( _V X. _V ) \ { <. x , y >. | ph } ) = { <. x , y >. | -. ph }

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 196   A.wal 1481   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   <.cop 4183   {copab 4712   X. cxp 5112   Rel wrel 5119

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-opab 4713  df-xp 5120  df-rel 5121

This theorem is referenced by: (None)