Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | idn1 38790 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ( 𝐴 ∈ 𝑉 ▶ 𝐴 ∈ 𝑉 ) |
2 | | sbcel12gOLD 38754 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ([𝐴 / 𝑥]𝑤 ∈ 𝐵 ↔ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝑤 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵)) |
3 | 1, 2 | e1a 38852 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ( 𝐴 ∈ 𝑉 ▶ ([𝐴 / 𝑥]𝑤 ∈ 𝐵 ↔ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝑤 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵) ) |
4 | | csbconstg 3546 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝑤 = 𝑤) |
5 | 1, 4 | e1a 38852 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ( 𝐴 ∈ 𝑉 ▶ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝑤 = 𝑤 ) |
6 | | eleq1 2689 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(⦋𝐴 /
𝑥⦌𝑤 = 𝑤 → (⦋𝐴 / 𝑥⦌𝑤 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵 ↔ 𝑤 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵)) |
7 | 5, 6 | e1a 38852 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ( 𝐴 ∈ 𝑉 ▶ (⦋𝐴 / 𝑥⦌𝑤 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵 ↔ 𝑤 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵) ) |
8 | | bibi1 341 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(([𝐴 / 𝑥]𝑤 ∈ 𝐵 ↔ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝑤 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵) → (([𝐴 / 𝑥]𝑤 ∈ 𝐵 ↔ 𝑤 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵) ↔ (⦋𝐴 / 𝑥⦌𝑤 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵 ↔ 𝑤 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵))) |
9 | 8 | biimprd 238 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(([𝐴 / 𝑥]𝑤 ∈ 𝐵 ↔ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝑤 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵) → ((⦋𝐴 / 𝑥⦌𝑤 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵 ↔ 𝑤 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵) → ([𝐴 / 𝑥]𝑤 ∈ 𝐵 ↔ 𝑤 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵))) |
10 | 3, 7, 9 | e11 38913 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ( 𝐴 ∈ 𝑉 ▶ ([𝐴 / 𝑥]𝑤 ∈ 𝐵 ↔ 𝑤 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵) ) |
11 | | sbcel12gOLD 38754 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ([𝐴 / 𝑥]𝑦 ∈ 𝐶 ↔ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝑦 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐶)) |
12 | 1, 11 | e1a 38852 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ( 𝐴 ∈ 𝑉 ▶ ([𝐴 / 𝑥]𝑦 ∈ 𝐶 ↔ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝑦 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐶) ) |
13 | | csbconstg 3546 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝑦 = 𝑦) |
14 | 1, 13 | e1a 38852 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ( 𝐴 ∈ 𝑉 ▶ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝑦 = 𝑦 ) |
15 | | eleq1 2689 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(⦋𝐴 /
𝑥⦌𝑦 = 𝑦 → (⦋𝐴 / 𝑥⦌𝑦 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐶 ↔ 𝑦 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐶)) |
16 | 14, 15 | e1a 38852 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ( 𝐴 ∈ 𝑉 ▶ (⦋𝐴 / 𝑥⦌𝑦 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐶 ↔ 𝑦 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐶) ) |
17 | | bibi1 341 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(([𝐴 / 𝑥]𝑦 ∈ 𝐶 ↔ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝑦 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐶) → (([𝐴 / 𝑥]𝑦 ∈ 𝐶 ↔ 𝑦 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐶) ↔ (⦋𝐴 / 𝑥⦌𝑦 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐶 ↔ 𝑦 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐶))) |
18 | 17 | biimprd 238 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(([𝐴 / 𝑥]𝑦 ∈ 𝐶 ↔ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝑦 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐶) → ((⦋𝐴 / 𝑥⦌𝑦 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐶 ↔ 𝑦 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐶) → ([𝐴 / 𝑥]𝑦 ∈ 𝐶 ↔ 𝑦 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐶))) |
19 | 12, 16, 18 | e11 38913 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ( 𝐴 ∈ 𝑉 ▶ ([𝐴 / 𝑥]𝑦 ∈ 𝐶 ↔ 𝑦 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐶) ) |
20 | | pm4.38 916 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
((([𝐴 / 𝑥]𝑤 ∈ 𝐵 ↔ 𝑤 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵) ∧ ([𝐴 / 𝑥]𝑦 ∈ 𝐶 ↔ 𝑦 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐶)) → (([𝐴 / 𝑥]𝑤 ∈ 𝐵 ∧ [𝐴 / 𝑥]𝑦 ∈ 𝐶) ↔ (𝑤 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐶))) |
21 | 20 | ex 450 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(([𝐴 / 𝑥]𝑤 ∈ 𝐵 ↔ 𝑤 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵) → (([𝐴 / 𝑥]𝑦 ∈ 𝐶 ↔ 𝑦 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐶) → (([𝐴 / 𝑥]𝑤 ∈ 𝐵 ∧ [𝐴 / 𝑥]𝑦 ∈ 𝐶) ↔ (𝑤 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐶)))) |
22 | 10, 19, 21 | e11 38913 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ( 𝐴 ∈ 𝑉 ▶ (([𝐴 / 𝑥]𝑤 ∈ 𝐵 ∧ [𝐴 / 𝑥]𝑦 ∈ 𝐶) ↔ (𝑤 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐶)) ) |
23 | | sbcangOLD 38739 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ([𝐴 / 𝑥](𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) ↔ ([𝐴 / 𝑥]𝑤 ∈ 𝐵 ∧ [𝐴 / 𝑥]𝑦 ∈ 𝐶))) |
24 | 1, 23 | e1a 38852 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ( 𝐴 ∈ 𝑉 ▶ ([𝐴 / 𝑥](𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) ↔ ([𝐴 / 𝑥]𝑤 ∈ 𝐵 ∧ [𝐴 / 𝑥]𝑦 ∈ 𝐶)) ) |
25 | | bibi1 341 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(([𝐴 / 𝑥](𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) ↔ ([𝐴 / 𝑥]𝑤 ∈ 𝐵 ∧ [𝐴 / 𝑥]𝑦 ∈ 𝐶)) → (([𝐴 / 𝑥](𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) ↔ (𝑤 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐶)) ↔ (([𝐴 / 𝑥]𝑤 ∈ 𝐵 ∧ [𝐴 / 𝑥]𝑦 ∈ 𝐶) ↔ (𝑤 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐶)))) |
26 | 25 | biimprcd 240 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((([𝐴 / 𝑥]𝑤 ∈ 𝐵 ∧ [𝐴 / 𝑥]𝑦 ∈ 𝐶) ↔ (𝑤 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐶)) → (([𝐴 / 𝑥](𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) ↔ ([𝐴 / 𝑥]𝑤 ∈ 𝐵 ∧ [𝐴 / 𝑥]𝑦 ∈ 𝐶)) → ([𝐴 / 𝑥](𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) ↔ (𝑤 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐶)))) |
27 | 22, 24, 26 | e11 38913 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ( 𝐴 ∈ 𝑉 ▶ ([𝐴 / 𝑥](𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) ↔ (𝑤 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐶)) ) |
28 | | sbcg 3503 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ([𝐴 / 𝑥]𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ↔ 𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉)) |
29 | 1, 28 | e1a 38852 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ( 𝐴 ∈ 𝑉 ▶ ([𝐴 / 𝑥]𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ↔ 𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉) ) |
30 | | pm4.38 916 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((([𝐴 / 𝑥]𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ↔ 𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉) ∧ ([𝐴 / 𝑥](𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) ↔ (𝑤 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐶))) → (([𝐴 / 𝑥]𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ [𝐴 / 𝑥](𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)) ↔ (𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐶)))) |
31 | 30 | expcom 451 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(([𝐴 / 𝑥](𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) ↔ (𝑤 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐶)) → (([𝐴 / 𝑥]𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ↔ 𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉) → (([𝐴 / 𝑥]𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ [𝐴 / 𝑥](𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)) ↔ (𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐶))))) |
32 | 27, 29, 31 | e11 38913 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ( 𝐴 ∈ 𝑉 ▶ (([𝐴 / 𝑥]𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ [𝐴 / 𝑥](𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)) ↔ (𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐶))) ) |
33 | | sbcangOLD 38739 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ([𝐴 / 𝑥](𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)) ↔ ([𝐴 / 𝑥]𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ [𝐴 / 𝑥](𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)))) |
34 | 1, 33 | e1a 38852 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ( 𝐴 ∈ 𝑉 ▶ ([𝐴 / 𝑥](𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)) ↔ ([𝐴 / 𝑥]𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ [𝐴 / 𝑥](𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶))) ) |
35 | | bibi1 341 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(([𝐴 / 𝑥](𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)) ↔ ([𝐴 / 𝑥]𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ [𝐴 / 𝑥](𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶))) → (([𝐴 / 𝑥](𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)) ↔ (𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐶))) ↔ (([𝐴 / 𝑥]𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ [𝐴 / 𝑥](𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)) ↔ (𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐶))))) |
36 | 35 | biimprcd 240 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((([𝐴 / 𝑥]𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ [𝐴 / 𝑥](𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)) ↔ (𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐶))) → (([𝐴 / 𝑥](𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)) ↔ ([𝐴 / 𝑥]𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ [𝐴 / 𝑥](𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶))) → ([𝐴 / 𝑥](𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)) ↔ (𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐶))))) |
37 | 32, 34, 36 | e11 38913 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ( 𝐴 ∈ 𝑉 ▶ ([𝐴 / 𝑥](𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)) ↔ (𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐶))) ) |
38 | 37 | gen11 38841 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ( 𝐴 ∈ 𝑉 ▶ ∀𝑦([𝐴 / 𝑥](𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)) ↔ (𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐶))) ) |
39 | | exbi 1773 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(∀𝑦([𝐴 / 𝑥](𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)) ↔ (𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐶))) → (∃𝑦[𝐴 / 𝑥](𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)) ↔ ∃𝑦(𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐶)))) |
40 | 38, 39 | e1a 38852 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ( 𝐴 ∈ 𝑉 ▶ (∃𝑦[𝐴 / 𝑥](𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)) ↔ ∃𝑦(𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐶))) ) |
41 | | sbcexgOLD 38753 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ([𝐴 / 𝑥]∃𝑦(𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)) ↔ ∃𝑦[𝐴 / 𝑥](𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)))) |
42 | 1, 41 | e1a 38852 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ( 𝐴 ∈ 𝑉 ▶ ([𝐴 / 𝑥]∃𝑦(𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)) ↔ ∃𝑦[𝐴 / 𝑥](𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶))) ) |
43 | | bibi1 341 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(([𝐴 / 𝑥]∃𝑦(𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)) ↔ ∃𝑦[𝐴 / 𝑥](𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶))) → (([𝐴 / 𝑥]∃𝑦(𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)) ↔ ∃𝑦(𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐶))) ↔ (∃𝑦[𝐴 / 𝑥](𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)) ↔ ∃𝑦(𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐶))))) |
44 | 43 | biimprcd 240 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((∃𝑦[𝐴 / 𝑥](𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)) ↔ ∃𝑦(𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐶))) → (([𝐴 / 𝑥]∃𝑦(𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)) ↔ ∃𝑦[𝐴 / 𝑥](𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶))) → ([𝐴 / 𝑥]∃𝑦(𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)) ↔ ∃𝑦(𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐶))))) |
45 | 40, 42, 44 | e11 38913 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ( 𝐴 ∈ 𝑉 ▶ ([𝐴 / 𝑥]∃𝑦(𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)) ↔ ∃𝑦(𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐶))) ) |
46 | 45 | gen11 38841 |
. . . . . . . . 9
⊢ ( 𝐴 ∈ 𝑉 ▶ ∀𝑤([𝐴 / 𝑥]∃𝑦(𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)) ↔ ∃𝑦(𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐶))) ) |
47 | | exbi 1773 |
. . . . . . . . 9
⊢
(∀𝑤([𝐴 / 𝑥]∃𝑦(𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)) ↔ ∃𝑦(𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐶))) → (∃𝑤[𝐴 / 𝑥]∃𝑦(𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)) ↔ ∃𝑤∃𝑦(𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐶)))) |
48 | 46, 47 | e1a 38852 |
. . . . . . . 8
⊢ ( 𝐴 ∈ 𝑉 ▶ (∃𝑤[𝐴 / 𝑥]∃𝑦(𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)) ↔ ∃𝑤∃𝑦(𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐶))) ) |
49 | | sbcexgOLD 38753 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ([𝐴 / 𝑥]∃𝑤∃𝑦(𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)) ↔ ∃𝑤[𝐴 / 𝑥]∃𝑦(𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)))) |
50 | 1, 49 | e1a 38852 |
. . . . . . . 8
⊢ ( 𝐴 ∈ 𝑉 ▶ ([𝐴 / 𝑥]∃𝑤∃𝑦(𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)) ↔ ∃𝑤[𝐴 / 𝑥]∃𝑦(𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶))) ) |
51 | | bibi1 341 |
. . . . . . . . 9
⊢
(([𝐴 / 𝑥]∃𝑤∃𝑦(𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)) ↔ ∃𝑤[𝐴 / 𝑥]∃𝑦(𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶))) → (([𝐴 / 𝑥]∃𝑤∃𝑦(𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)) ↔ ∃𝑤∃𝑦(𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐶))) ↔ (∃𝑤[𝐴 / 𝑥]∃𝑦(𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)) ↔ ∃𝑤∃𝑦(𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐶))))) |
52 | 51 | biimprcd 240 |
. . . . . . . 8
⊢
((∃𝑤[𝐴 / 𝑥]∃𝑦(𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)) ↔ ∃𝑤∃𝑦(𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐶))) → (([𝐴 / 𝑥]∃𝑤∃𝑦(𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)) ↔ ∃𝑤[𝐴 / 𝑥]∃𝑦(𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶))) → ([𝐴 / 𝑥]∃𝑤∃𝑦(𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)) ↔ ∃𝑤∃𝑦(𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐶))))) |
53 | 48, 50, 52 | e11 38913 |
. . . . . . 7
⊢ ( 𝐴 ∈ 𝑉 ▶ ([𝐴 / 𝑥]∃𝑤∃𝑦(𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)) ↔ ∃𝑤∃𝑦(𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐶))) ) |
54 | 53 | gen11 38841 |
. . . . . 6
⊢ ( 𝐴 ∈ 𝑉 ▶ ∀𝑧([𝐴 / 𝑥]∃𝑤∃𝑦(𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)) ↔ ∃𝑤∃𝑦(𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐶))) ) |
55 | | abbi 2737 |
. . . . . . 7
⊢
(∀𝑧([𝐴 / 𝑥]∃𝑤∃𝑦(𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)) ↔ ∃𝑤∃𝑦(𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐶))) ↔ {𝑧 ∣ [𝐴 / 𝑥]∃𝑤∃𝑦(𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶))} = {𝑧 ∣ ∃𝑤∃𝑦(𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐶))}) |
56 | 55 | biimpi 206 |
. . . . . 6
⊢
(∀𝑧([𝐴 / 𝑥]∃𝑤∃𝑦(𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)) ↔ ∃𝑤∃𝑦(𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐶))) → {𝑧 ∣ [𝐴 / 𝑥]∃𝑤∃𝑦(𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶))} = {𝑧 ∣ ∃𝑤∃𝑦(𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐶))}) |
57 | 54, 56 | e1a 38852 |
. . . . 5
⊢ ( 𝐴 ∈ 𝑉 ▶ {𝑧 ∣ [𝐴 / 𝑥]∃𝑤∃𝑦(𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶))} = {𝑧 ∣ ∃𝑤∃𝑦(𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐶))} ) |
58 | | csbabgOLD 39050 |
. . . . . 6
⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ⦋𝐴 / 𝑥⦌{𝑧 ∣ ∃𝑤∃𝑦(𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶))} = {𝑧 ∣ [𝐴 / 𝑥]∃𝑤∃𝑦(𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶))}) |
59 | 1, 58 | e1a 38852 |
. . . . 5
⊢ ( 𝐴 ∈ 𝑉 ▶ ⦋𝐴 / 𝑥⦌{𝑧 ∣ ∃𝑤∃𝑦(𝑧 =
〈𝑤, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶))} = {𝑧 ∣ [𝐴 / 𝑥]∃𝑤∃𝑦(𝑧 =
〈𝑤, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶))} ) |
60 | | eqeq2 2633 |
. . . . . 6
⊢ ({𝑧 ∣ [𝐴 / 𝑥]∃𝑤∃𝑦(𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶))} = {𝑧 ∣ ∃𝑤∃𝑦(𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐶))} → (⦋𝐴 / 𝑥⦌{𝑧 ∣ ∃𝑤∃𝑦(𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶))} = {𝑧 ∣ [𝐴 / 𝑥]∃𝑤∃𝑦(𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶))} ↔ ⦋𝐴 / 𝑥⦌{𝑧 ∣ ∃𝑤∃𝑦(𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶))} = {𝑧 ∣ ∃𝑤∃𝑦(𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐶))})) |
61 | 60 | biimpd 219 |
. . . . 5
⊢ ({𝑧 ∣ [𝐴 / 𝑥]∃𝑤∃𝑦(𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶))} = {𝑧 ∣ ∃𝑤∃𝑦(𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐶))} → (⦋𝐴 / 𝑥⦌{𝑧 ∣ ∃𝑤∃𝑦(𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶))} = {𝑧 ∣ [𝐴 / 𝑥]∃𝑤∃𝑦(𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶))} → ⦋𝐴 / 𝑥⦌{𝑧 ∣ ∃𝑤∃𝑦(𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶))} = {𝑧 ∣ ∃𝑤∃𝑦(𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐶))})) |
62 | 57, 59, 61 | e11 38913 |
. . . 4
⊢ ( 𝐴 ∈ 𝑉 ▶ ⦋𝐴 / 𝑥⦌{𝑧 ∣ ∃𝑤∃𝑦(𝑧 =
〈𝑤, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶))} = {𝑧 ∣ ∃𝑤∃𝑦(𝑧 =
〈𝑤, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐶))} ) |
63 | | df-xp 5120 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐵 × 𝐶) = {〈𝑤, 𝑦〉 ∣ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)} |
64 | | df-opab 4713 |
. . . . . . 7
⊢
{〈𝑤, 𝑦〉 ∣ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)} = {𝑧 ∣ ∃𝑤∃𝑦(𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶))} |
65 | 63, 64 | eqtri 2644 |
. . . . . 6
⊢ (𝐵 × 𝐶) = {𝑧 ∣ ∃𝑤∃𝑦(𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶))} |
66 | 65 | ax-gen 1722 |
. . . . 5
⊢
∀𝑥(𝐵 × 𝐶) = {𝑧 ∣ ∃𝑤∃𝑦(𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶))} |
67 | | csbeq2gOLD 38765 |
. . . . 5
⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (∀𝑥(𝐵 × 𝐶) = {𝑧 ∣ ∃𝑤∃𝑦(𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶))} → ⦋𝐴 / 𝑥⦌(𝐵 × 𝐶) = ⦋𝐴 / 𝑥⦌{𝑧 ∣ ∃𝑤∃𝑦(𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶))})) |
68 | 1, 66, 67 | e10 38919 |
. . . 4
⊢ ( 𝐴 ∈ 𝑉 ▶ ⦋𝐴 / 𝑥⦌(𝐵 × 𝐶) = ⦋𝐴 / 𝑥⦌{𝑧 ∣ ∃𝑤∃𝑦(𝑧 =
〈𝑤, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶))} ) |
69 | | eqeq2 2633 |
. . . . 5
⊢
(⦋𝐴 /
𝑥⦌{𝑧 ∣ ∃𝑤∃𝑦(𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶))} = {𝑧 ∣ ∃𝑤∃𝑦(𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐶))} → (⦋𝐴 / 𝑥⦌(𝐵 × 𝐶) = ⦋𝐴 / 𝑥⦌{𝑧 ∣ ∃𝑤∃𝑦(𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶))} ↔ ⦋𝐴 / 𝑥⦌(𝐵 × 𝐶) = {𝑧 ∣ ∃𝑤∃𝑦(𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐶))})) |
70 | 69 | biimpd 219 |
. . . 4
⊢
(⦋𝐴 /
𝑥⦌{𝑧 ∣ ∃𝑤∃𝑦(𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶))} = {𝑧 ∣ ∃𝑤∃𝑦(𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐶))} → (⦋𝐴 / 𝑥⦌(𝐵 × 𝐶) = ⦋𝐴 / 𝑥⦌{𝑧 ∣ ∃𝑤∃𝑦(𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶))} → ⦋𝐴 / 𝑥⦌(𝐵 × 𝐶) = {𝑧 ∣ ∃𝑤∃𝑦(𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐶))})) |
71 | 62, 68, 70 | e11 38913 |
. . 3
⊢ ( 𝐴 ∈ 𝑉 ▶ ⦋𝐴 / 𝑥⦌(𝐵 × 𝐶) = {𝑧 ∣ ∃𝑤∃𝑦(𝑧 =
〈𝑤, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐶))} ) |
72 | | df-xp 5120 |
. . . 4
⊢
(⦋𝐴 /
𝑥⦌𝐵 × ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐶) = {〈𝑤, 𝑦〉 ∣ (𝑤 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐶)} |
73 | | df-opab 4713 |
. . . 4
⊢
{〈𝑤, 𝑦〉 ∣ (𝑤 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐶)} = {𝑧 ∣ ∃𝑤∃𝑦(𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐶))} |
74 | 72, 73 | eqtri 2644 |
. . 3
⊢
(⦋𝐴 /
𝑥⦌𝐵 × ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐶) = {𝑧 ∣ ∃𝑤∃𝑦(𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐶))} |
75 | | eqeq2 2633 |
. . . 4
⊢
((⦋𝐴 /
𝑥⦌𝐵 × ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐶) = {𝑧 ∣ ∃𝑤∃𝑦(𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐶))} → (⦋𝐴 / 𝑥⦌(𝐵 × 𝐶) = (⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵 × ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐶) ↔ ⦋𝐴 / 𝑥⦌(𝐵 × 𝐶) = {𝑧 ∣ ∃𝑤∃𝑦(𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐶))})) |
76 | 75 | biimprcd 240 |
. . 3
⊢
(⦋𝐴 /
𝑥⦌(𝐵 × 𝐶) = {𝑧 ∣ ∃𝑤∃𝑦(𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐶))} → ((⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵 × ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐶) = {𝑧 ∣ ∃𝑤∃𝑦(𝑧 = 〈𝑤, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐶))} → ⦋𝐴 / 𝑥⦌(𝐵 × 𝐶) = (⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵 × ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐶))) |
77 | 71, 74, 76 | e10 38919 |
. 2
⊢ ( 𝐴 ∈ 𝑉 ▶ ⦋𝐴 / 𝑥⦌(𝐵 × 𝐶) = (⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵 × ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐶) ) |
78 | 77 | in1 38787 |
1
⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ⦋𝐴 / 𝑥⦌(𝐵 × 𝐶) = (⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵 × ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐶)) |