ostth3 - Metamath Proof Explorer

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Theorem ostth3 25327

Description: - Lemma for ostth 25328: p-adic case. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
qrng.q	⊢ 𝑄 = (ℂ_fld ↾_s ℚ)
qabsabv.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
padic.j	⊢ 𝐽 = (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥)))))
ostth.k	⊢ 𝐾 = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))
ostth.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐴)
ostth3.2	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛))
ostth3.3	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
ostth3.4	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑃) < 1)
ostth3.5	⊢ 𝑅 = -((log‘(𝐹‘𝑃)) / (log‘𝑃))
ostth3.6	⊢ 𝑆 = if((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑃))

**Assertion**
Ref	Expression
ostth3	⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℝ⁺ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑃)‘𝑦)↑_𝑐𝑎)))

Distinct variable groups: 𝑛,𝑝,𝑦 𝑛,𝐾 𝑥,𝑛,𝑎,𝑝,𝑞,𝑦,𝜑 𝐽,𝑎,𝑝,𝑦 𝑆,𝑎 𝐴,𝑎,𝑛,𝑝,𝑞,𝑥,𝑦 𝑄,𝑛,𝑥,𝑦 𝐹,𝑎,𝑛,𝑝,𝑞,𝑦 𝑃,𝑎,𝑝,𝑞,𝑥,𝑦 𝑅,𝑎,𝑝,𝑞,𝑦 𝑥,𝐹 Allowed substitution hints: 𝑃(𝑛) 𝑄(𝑞,𝑝,𝑎) 𝑅(𝑥,𝑛) 𝑆(𝑥,𝑦,𝑛,𝑞,𝑝) 𝐽(𝑥,𝑛,𝑞) 𝐾(𝑥,𝑦,𝑞,𝑝,𝑎)

Proof of Theorem ostth3 Dummy variables 𝑘 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ostth3.5	. . . 4 ⊢ 𝑅 = -((log‘(𝐹‘𝑃)) / (log‘𝑃))
2		ostth.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐴)
3		ostth3.3	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
4		prmuz2 15408	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ_≥‘2))
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℤ_≥‘2))
6		eluz2b2 11761	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ_≥‘2) ↔ (𝑃 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑃))
7	5, 6	sylib 208	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑃))
8	7	simpld 475	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
9		nnq 11801	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℚ)
10	8, 9	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℚ)
11		qabsabv.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
12		qrng.q	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑄 = (ℂ_fld ↾_s ℚ)
13	12	qrngbas 25308	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℚ = (Base‘𝑄)
14	11, 13	abvcl 18824	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ ℚ) → (𝐹‘𝑃) ∈ ℝ)
15	2, 10, 14	syl2anc 693	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑃) ∈ ℝ)
16	8	nnne0d 11065	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 0)
17	12	qrng0 25310	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = (0_g‘𝑄)
18	11, 13, 17	abvgt0 18828	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ ℚ ∧ 𝑃 ≠ 0) → 0 < (𝐹‘𝑃))
19	2, 10, 16, 18	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝐹‘𝑃))
20	15, 19	elrpd 11869	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑃) ∈ ℝ⁺)
21	20	relogcld 24369	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (log‘(𝐹‘𝑃)) ∈ ℝ)
22	8	nnred 11035	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ)
23	7	simprd 479	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝑃)
24	22, 23	rplogcld 24375	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (log‘𝑃) ∈ ℝ⁺)
25	21, 24	rerpdivcld 11903	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((log‘(𝐹‘𝑃)) / (log‘𝑃)) ∈ ℝ)
26	25	renegcld 10457	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -((log‘(𝐹‘𝑃)) / (log‘𝑃)) ∈ ℝ)
27	1, 26	syl5eqel 2705	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
28		ostth3.4	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑃) < 1)
29		1rp 11836	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ⁺
30		logltb 24346	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ∈ ℝ⁺ ∧ 1 ∈ ℝ⁺) → ((𝐹‘𝑃) < 1 ↔ (log‘(𝐹‘𝑃)) < (log‘1)))
31	20, 29, 30	sylancl 694	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑃) < 1 ↔ (log‘(𝐹‘𝑃)) < (log‘1)))
32	28, 31	mpbid 222	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (log‘(𝐹‘𝑃)) < (log‘1))
33		log1 24332	. . . . . . . 8 ⊢ (log‘1) = 0
34	32, 33	syl6breq 4694	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (log‘(𝐹‘𝑃)) < 0)
35	24	rpcnd 11874	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (log‘𝑃) ∈ ℂ)
36	35	mul01d 10235	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((log‘𝑃) · 0) = 0)
37	34, 36	breqtrrd 4681	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (log‘(𝐹‘𝑃)) < ((log‘𝑃) · 0))
38		0red 10041	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
39	21, 38, 24	ltdivmuld 11923	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((log‘(𝐹‘𝑃)) / (log‘𝑃)) < 0 ↔ (log‘(𝐹‘𝑃)) < ((log‘𝑃) · 0)))
40	37, 39	mpbird 247	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((log‘(𝐹‘𝑃)) / (log‘𝑃)) < 0)
41	25	lt0neg1d 10597	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((log‘(𝐹‘𝑃)) / (log‘𝑃)) < 0 ↔ 0 < -((log‘(𝐹‘𝑃)) / (log‘𝑃))))
42	40, 41	mpbid 222	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < -((log‘(𝐹‘𝑃)) / (log‘𝑃)))
43	42, 1	syl6breqr 4695	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑅)
44	27, 43	elrpd 11869	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ⁺)
45		padic.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥)))))
46	12, 11, 45	padicabvcxp 25321	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺) → (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑃)‘𝑦)↑_𝑐𝑅)) ∈ 𝐴)
47	3, 44, 46	syl2anc 693	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑃)‘𝑦)↑_𝑐𝑅)) ∈ 𝐴)
48		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑃 → ((𝐽‘𝑃)‘𝑦) = ((𝐽‘𝑃)‘𝑃))
49	48	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑃 → (((𝐽‘𝑃)‘𝑦)↑_𝑐𝑅) = (((𝐽‘𝑃)‘𝑃)↑_𝑐𝑅))
50		eqid 2622	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑃)‘𝑦)↑_𝑐𝑅)) = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑃)‘𝑦)↑_𝑐𝑅))
51		ovex 6678	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐽‘𝑃)‘𝑃)↑_𝑐𝑅) ∈ V
52	49, 50, 51	fvmpt 6282	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℚ → ((𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑃)‘𝑦)↑_𝑐𝑅))‘𝑃) = (((𝐽‘𝑃)‘𝑃)↑_𝑐𝑅))
53	10, 52	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑃)‘𝑦)↑_𝑐𝑅))‘𝑃) = (((𝐽‘𝑃)‘𝑃)↑_𝑐𝑅))
54	45	padicval 25306	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∈ ℚ) → ((𝐽‘𝑃)‘𝑃) = if(𝑃 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑃))))
55	3, 10, 54	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐽‘𝑃)‘𝑃) = if(𝑃 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑃))))
56	16	neneqd 2799	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 = 0)
57	56	iffalsed 4097	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → if(𝑃 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑃))) = (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑃)))
58	8	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
59	58	exp1d 13003	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑1) = 𝑃)
60	59	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt (𝑃↑1)) = (𝑃 pCnt 𝑃))
61		1z 11407	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℤ
62		pcid 15577	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑃 pCnt (𝑃↑1)) = 1)
63	3, 61, 62	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt (𝑃↑1)) = 1)
64	60, 63	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt 𝑃) = 1)
65	64	negeqd 10275	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → -(𝑃 pCnt 𝑃) = -1)
66	65	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑃)) = (𝑃↑-1))
67		neg1z 11413	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -1 ∈ ℤ
68	67	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℤ)
69	58, 16, 68	cxpexpzd 24457	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑_𝑐-1) = (𝑃↑-1))
70	66, 69	eqtr4d 2659	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑃)) = (𝑃↑_𝑐-1))
71	55, 57, 70	3eqtrd 2660	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐽‘𝑃)‘𝑃) = (𝑃↑_𝑐-1))
72	71	oveq1d 6665	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐽‘𝑃)‘𝑃)↑_𝑐𝑅) = ((𝑃↑_𝑐-1)↑_𝑐𝑅))
73	27	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℂ)
74	73	mulm1d 10482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (-1 · 𝑅) = -𝑅)
75	1	negeqi 10274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -𝑅 = --((log‘(𝐹‘𝑃)) / (log‘𝑃))
76	25	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((log‘(𝐹‘𝑃)) / (log‘𝑃)) ∈ ℂ)
77	76	negnegd 10383	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → --((log‘(𝐹‘𝑃)) / (log‘𝑃)) = ((log‘(𝐹‘𝑃)) / (log‘𝑃)))
78	75, 77	syl5eq 2668	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → -𝑅 = ((log‘(𝐹‘𝑃)) / (log‘𝑃)))
79	74, 78	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (-1 · 𝑅) = ((log‘(𝐹‘𝑃)) / (log‘𝑃)))
80	79	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑_𝑐(-1 · 𝑅)) = (𝑃↑_𝑐((log‘(𝐹‘𝑃)) / (log‘𝑃))))
81	8	nnrpd 11870	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ⁺)
82		neg1rr 11125	. . . . . . . . . 10 ⊢ -1 ∈ ℝ
83	82	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℝ)
84	81, 83, 73	cxpmuld 24480	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑_𝑐(-1 · 𝑅)) = ((𝑃↑_𝑐-1)↑_𝑐𝑅))
85	58, 16, 76	cxpefd 24458	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑_𝑐((log‘(𝐹‘𝑃)) / (log‘𝑃))) = (exp‘(((log‘(𝐹‘𝑃)) / (log‘𝑃)) · (log‘𝑃))))
86	21	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (log‘(𝐹‘𝑃)) ∈ ℂ)
87	24	rpne0d 11877	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (log‘𝑃) ≠ 0)
88	86, 35, 87	divcan1d 10802	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((log‘(𝐹‘𝑃)) / (log‘𝑃)) · (log‘𝑃)) = (log‘(𝐹‘𝑃)))
89	88	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (exp‘(((log‘(𝐹‘𝑃)) / (log‘𝑃)) · (log‘𝑃))) = (exp‘(log‘(𝐹‘𝑃))))
90	20	reeflogd 24370	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (exp‘(log‘(𝐹‘𝑃))) = (𝐹‘𝑃))
91	85, 89, 90	3eqtrd 2660	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑_𝑐((log‘(𝐹‘𝑃)) / (log‘𝑃))) = (𝐹‘𝑃))
92	80, 84, 91	3eqtr3d 2664	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑃↑_𝑐-1)↑_𝑐𝑅) = (𝐹‘𝑃))
93	53, 72, 92	3eqtrrd 2661	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑃) = ((𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑃)‘𝑦)↑_𝑐𝑅))‘𝑃))
94		fveq2 6191	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 = 𝑝 → (𝐹‘𝑃) = (𝐹‘𝑝))
95		fveq2 6191	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 = 𝑝 → ((𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑃)‘𝑦)↑_𝑐𝑅))‘𝑃) = ((𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑃)‘𝑦)↑_𝑐𝑅))‘𝑝))
96	94, 95	eqeq12d 2637	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 = 𝑝 → ((𝐹‘𝑃) = ((𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑃)‘𝑦)↑_𝑐𝑅))‘𝑃) ↔ (𝐹‘𝑝) = ((𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑃)‘𝑦)↑_𝑐𝑅))‘𝑝)))
97	93, 96	syl5ibcom 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃 = 𝑝 → (𝐹‘𝑝) = ((𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑃)‘𝑦)↑_𝑐𝑅))‘𝑝)))
98	97	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑃 = 𝑝 → (𝐹‘𝑝) = ((𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑃)‘𝑦)↑_𝑐𝑅))‘𝑝)))
99		prmnn 15388	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
100	99	ad2antlr 763	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑝) → 𝑝 ∈ ℕ)
101		nnq 11801	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → 𝑝 ∈ ℚ)
102	100, 101	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑝) → 𝑝 ∈ ℚ)
103		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑝 → ((𝐽‘𝑃)‘𝑦) = ((𝐽‘𝑃)‘𝑝))
104	103	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑝 → (((𝐽‘𝑃)‘𝑦)↑_𝑐𝑅) = (((𝐽‘𝑃)‘𝑝)↑_𝑐𝑅))
105		ovex 6678	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐽‘𝑃)‘𝑝)↑_𝑐𝑅) ∈ V
106	104, 50, 105	fvmpt 6282	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ ℚ → ((𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑃)‘𝑦)↑_𝑐𝑅))‘𝑝) = (((𝐽‘𝑃)‘𝑝)↑_𝑐𝑅))
107	102, 106	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑝) → ((𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑃)‘𝑦)↑_𝑐𝑅))‘𝑝) = (((𝐽‘𝑃)‘𝑝)↑_𝑐𝑅))
108	73	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑝) → 𝑅 ∈ ℂ)
109	108	1cxpd 24453	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑝) → (1↑_𝑐𝑅) = 1)
110	3	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑝) → 𝑃 ∈ ℙ)
111	45	padicval 25306	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ ℚ) → ((𝐽‘𝑃)‘𝑝) = if(𝑝 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑝))))
112	110, 102, 111	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑝) → ((𝐽‘𝑃)‘𝑝) = if(𝑝 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑝))))
113	100	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑝) → 𝑝 ≠ 0)
114	113	neneqd 2799	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑝) → ¬ 𝑝 = 0)
115	114	iffalsed 4097	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑝) → if(𝑝 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑝))) = (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑝)))
116		pceq0 15575	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ ℕ) → ((𝑃 pCnt 𝑝) = 0 ↔ ¬ 𝑃 ∥ 𝑝))
117	3, 99, 116	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑃 pCnt 𝑝) = 0 ↔ ¬ 𝑃 ∥ 𝑝))
118		dvdsprm 15415	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑃 ∥ 𝑝 ↔ 𝑃 = 𝑝))
119	5, 118	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑃 ∥ 𝑝 ↔ 𝑃 = 𝑝))
120	119	necon3bbid 2831	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (¬ 𝑃 ∥ 𝑝 ↔ 𝑃 ≠ 𝑝))
121	117, 120	bitrd 268	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑃 pCnt 𝑝) = 0 ↔ 𝑃 ≠ 𝑝))
122	121	biimpar 502	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑝) → (𝑃 pCnt 𝑝) = 0)
123	122	negeqd 10275	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑝) → -(𝑃 pCnt 𝑝) = -0)
124		neg0 10327	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -0 = 0
125	123, 124	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑝) → -(𝑃 pCnt 𝑝) = 0)
126	125	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑝) → (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑝)) = (𝑃↑0))
127	58	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑝) → 𝑃 ∈ ℂ)
128	127	exp0d 13002	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑝) → (𝑃↑0) = 1)
129	126, 128	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑝) → (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑝)) = 1)
130	112, 115, 129	3eqtrd 2660	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑝) → ((𝐽‘𝑃)‘𝑝) = 1)
131	130	oveq1d 6665	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑝) → (((𝐽‘𝑃)‘𝑝)↑_𝑐𝑅) = (1↑_𝑐𝑅))
132		2re 11090	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ
133	132	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) → 2 ∈ ℝ)
134		ostth3.6	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑆 = if((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑃))
135	2	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑝) → 𝐹 ∈ 𝐴)
136	11, 13	abvcl 18824	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) → (𝐹‘𝑝) ∈ ℝ)
137	135, 102, 136	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑝) → (𝐹‘𝑝) ∈ ℝ)
138	11, 13, 17	abvgt0 18828	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑝 ≠ 0) → 0 < (𝐹‘𝑝))
139	135, 102, 113, 138	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑝) → 0 < (𝐹‘𝑝))
140	137, 139	elrpd 11869	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑝) → (𝐹‘𝑝) ∈ ℝ⁺)
141	140	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) → (𝐹‘𝑝) ∈ ℝ⁺)
142	20	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) → (𝐹‘𝑃) ∈ ℝ⁺)
143	141, 142	ifcld 4131	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) → if((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑃)) ∈ ℝ⁺)
144	134, 143	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) → 𝑆 ∈ ℝ⁺)
145	144	rprecred 11883	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) → (1 / 𝑆) ∈ ℝ)
146		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) → (𝐹‘𝑝) < 1)
147	28	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) → (𝐹‘𝑃) < 1)
148		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹‘𝑝) = if((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑃)) → ((𝐹‘𝑝) < 1 ↔ if((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑃)) < 1))
149		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹‘𝑃) = if((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑃)) → ((𝐹‘𝑃) < 1 ↔ if((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑃)) < 1))
150	148, 149	ifboth 4124	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘𝑝) < 1 ∧ (𝐹‘𝑃) < 1) → if((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑃)) < 1)
151	146, 147, 150	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) → if((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑃)) < 1)
152	134, 151	syl5eqbr 4688	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) → 𝑆 < 1)
153	144	reclt1d 11885	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) → (𝑆 < 1 ↔ 1 < (1 / 𝑆)))
154	152, 153	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) → 1 < (1 / 𝑆))
155		expnbnd 12993	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (1 / 𝑆) ∈ ℝ ∧ 1 < (1 / 𝑆)) → ∃𝑘 ∈ ℕ 2 < ((1 / 𝑆)↑𝑘))
156	133, 145, 154, 155	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) → ∃𝑘 ∈ ℕ 2 < ((1 / 𝑆)↑𝑘))
157	144	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) → 𝑆 ∈ ℂ)
158	157	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑆 ∈ ℂ)
159	144	rpne0d 11877	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) → 𝑆 ≠ 0)
160	159	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑆 ≠ 0)
161		nnz 11399	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
162	161	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℤ)
163	158, 160, 162	exprecd 13016	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑆)↑𝑘) = (1 / (𝑆↑𝑘)))
164	2	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐹 ∈ 𝐴)
165		ax-1ne0 10005	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 1 ≠ 0
166	12	qrng1 25311	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 1 = (1_r‘𝑄)
167	11, 166, 17	abv1z 18832	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ≠ 0) → (𝐹‘1) = 1)
168	164, 165, 167	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘1) = 1)
169	8	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) → 𝑃 ∈ ℕ)
170		nnnn0 11299	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ₀)
171		nnexpcl 12873	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → (𝑃↑𝑘) ∈ ℕ)
172	169, 170, 171	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃↑𝑘) ∈ ℕ)
173	172	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃↑𝑘) ∈ ℤ)
174	99	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) → 𝑝 ∈ ℕ)
175		nnexpcl 12873	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → (𝑝↑𝑘) ∈ ℕ)
176	174, 170, 175	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑝↑𝑘) ∈ ℕ)
177	176	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑝↑𝑘) ∈ ℤ)
178		bezout 15260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑃↑𝑘) ∈ ℤ ∧ (𝑝↑𝑘) ∈ ℤ) → ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ ((𝑃↑𝑘) gcd (𝑝↑𝑘)) = (((𝑃↑𝑘) · 𝑎) + ((𝑝↑𝑘) · 𝑏)))
179	173, 177, 178	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ ((𝑃↑𝑘) gcd (𝑝↑𝑘)) = (((𝑃↑𝑘) · 𝑎) + ((𝑝↑𝑘) · 𝑏)))
180		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) → 𝑃 ≠ 𝑝)
181	3	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) → 𝑃 ∈ ℙ)
182		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) → 𝑝 ∈ ℙ)
183		prmrp 15424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑃 gcd 𝑝) = 1 ↔ 𝑃 ≠ 𝑝))
184	181, 182, 183	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) → ((𝑃 gcd 𝑝) = 1 ↔ 𝑃 ≠ 𝑝))
185	180, 184	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) → (𝑃 gcd 𝑝) = 1)
186	185	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃 gcd 𝑝) = 1)
187	169	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℕ)
188	174	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑝 ∈ ℕ)
189		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
190		rppwr 15277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑃 gcd 𝑝) = 1 → ((𝑃↑𝑘) gcd (𝑝↑𝑘)) = 1))
191	187, 188, 189, 190	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑃 gcd 𝑝) = 1 → ((𝑃↑𝑘) gcd (𝑝↑𝑘)) = 1))
192	186, 191	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑃↑𝑘) gcd (𝑝↑𝑘)) = 1)
193	192	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ((𝑃↑𝑘) gcd (𝑝↑𝑘)) = 1)
194	193	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (((𝑃↑𝑘) gcd (𝑝↑𝑘)) = (((𝑃↑𝑘) · 𝑎) + ((𝑝↑𝑘) · 𝑏)) ↔ 1 = (((𝑃↑𝑘) · 𝑎) + ((𝑝↑𝑘) · 𝑏))))
195	2	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 𝐹 ∈ 𝐴)
196	172	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝑃↑𝑘) ∈ ℕ)
197		nnq 11801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑃↑𝑘) ∈ ℕ → (𝑃↑𝑘) ∈ ℚ)
198	196, 197	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝑃↑𝑘) ∈ ℚ)
199		simprrl 804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 𝑎 ∈ ℤ)
200		zq 11794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℚ)
201	199, 200	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 𝑎 ∈ ℚ)
202		qmulcl 11806	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑃↑𝑘) ∈ ℚ ∧ 𝑎 ∈ ℚ) → ((𝑃↑𝑘) · 𝑎) ∈ ℚ)
203	198, 201, 202	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ((𝑃↑𝑘) · 𝑎) ∈ ℚ)
204	176	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝑝↑𝑘) ∈ ℕ)
205		nnq 11801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑝↑𝑘) ∈ ℕ → (𝑝↑𝑘) ∈ ℚ)
206	204, 205	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝑝↑𝑘) ∈ ℚ)
207		simprrr 805	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 𝑏 ∈ ℤ)
208		zq 11794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ → 𝑏 ∈ ℚ)
209	207, 208	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 𝑏 ∈ ℚ)
210		qmulcl 11806	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑝↑𝑘) ∈ ℚ ∧ 𝑏 ∈ ℚ) → ((𝑝↑𝑘) · 𝑏) ∈ ℚ)
211	206, 209, 210	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ((𝑝↑𝑘) · 𝑏) ∈ ℚ)
212		qaddcl 11804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑃↑𝑘) · 𝑎) ∈ ℚ ∧ ((𝑝↑𝑘) · 𝑏) ∈ ℚ) → (((𝑃↑𝑘) · 𝑎) + ((𝑝↑𝑘) · 𝑏)) ∈ ℚ)
213	203, 211, 212	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (((𝑃↑𝑘) · 𝑎) + ((𝑝↑𝑘) · 𝑏)) ∈ ℚ)
214	11, 13	abvcl 18824	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (((𝑃↑𝑘) · 𝑎) + ((𝑝↑𝑘) · 𝑏)) ∈ ℚ) → (𝐹‘(((𝑃↑𝑘) · 𝑎) + ((𝑝↑𝑘) · 𝑏))) ∈ ℝ)
215	195, 213, 214	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹‘(((𝑃↑𝑘) · 𝑎) + ((𝑝↑𝑘) · 𝑏))) ∈ ℝ)
216	11, 13	abvcl 18824	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑃↑𝑘) · 𝑎) ∈ ℚ) → (𝐹‘((𝑃↑𝑘) · 𝑎)) ∈ ℝ)
217	195, 203, 216	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹‘((𝑃↑𝑘) · 𝑎)) ∈ ℝ)
218	11, 13	abvcl 18824	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝↑𝑘) · 𝑏) ∈ ℚ) → (𝐹‘((𝑝↑𝑘) · 𝑏)) ∈ ℝ)
219	195, 211, 218	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹‘((𝑝↑𝑘) · 𝑏)) ∈ ℝ)
220	217, 219	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ((𝐹‘((𝑃↑𝑘) · 𝑎)) + (𝐹‘((𝑝↑𝑘) · 𝑏))) ∈ ℝ)
221		rpexpcl 12879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑆↑𝑘) ∈ ℝ⁺)
222	144, 161, 221	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑆↑𝑘) ∈ ℝ⁺)
223	222	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑆↑𝑘) ∈ ℝ)
224	223	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝑆↑𝑘) ∈ ℝ)
225		remulcl 10021	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (𝑆↑𝑘) ∈ ℝ) → (2 · (𝑆↑𝑘)) ∈ ℝ)
226	132, 224, 225	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (2 · (𝑆↑𝑘)) ∈ ℝ)
227		qex 11800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ℚ ∈ V
228		cnfldadd 19751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ + = (+_g‘ℂ_fld)
229	12, 228	ressplusg 15993	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (ℚ ∈ V → + = (+_g‘𝑄))
230	227, 229	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ + = (+_g‘𝑄)
231	11, 13, 230	abvtri 18830	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑃↑𝑘) · 𝑎) ∈ ℚ ∧ ((𝑝↑𝑘) · 𝑏) ∈ ℚ) → (𝐹‘(((𝑃↑𝑘) · 𝑎) + ((𝑝↑𝑘) · 𝑏))) ≤ ((𝐹‘((𝑃↑𝑘) · 𝑎)) + (𝐹‘((𝑝↑𝑘) · 𝑏))))
232	195, 203, 211, 231	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹‘(((𝑃↑𝑘) · 𝑎) + ((𝑝↑𝑘) · 𝑏))) ≤ ((𝐹‘((𝑃↑𝑘) · 𝑎)) + (𝐹‘((𝑝↑𝑘) · 𝑏))))
233		cnfldmul 19752	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ · = (._r‘ℂ_fld)
234	12, 233	ressmulr 16006	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (ℚ ∈ V → · = (._r‘𝑄))
235	227, 234	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ · = (._r‘𝑄)
236	11, 13, 235	abvmul 18829	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃↑𝑘) ∈ ℚ ∧ 𝑎 ∈ ℚ) → (𝐹‘((𝑃↑𝑘) · 𝑎)) = ((𝐹‘(𝑃↑𝑘)) · (𝐹‘𝑎)))
237	195, 198, 201, 236	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹‘((𝑃↑𝑘) · 𝑎)) = ((𝐹‘(𝑃↑𝑘)) · (𝐹‘𝑎)))
238	10	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 𝑃 ∈ ℚ)
239	170	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 𝑘 ∈ ℕ₀)
240	12, 11	qabvexp 25315	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ ℚ ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → (𝐹‘(𝑃↑𝑘)) = ((𝐹‘𝑃)↑𝑘))
241	195, 238, 239, 240	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹‘(𝑃↑𝑘)) = ((𝐹‘𝑃)↑𝑘))
242	241	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ((𝐹‘(𝑃↑𝑘)) · (𝐹‘𝑎)) = (((𝐹‘𝑃)↑𝑘) · (𝐹‘𝑎)))
243	237, 242	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹‘((𝑃↑𝑘) · 𝑎)) = (((𝐹‘𝑃)↑𝑘) · (𝐹‘𝑎)))
244	195, 238, 14	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹‘𝑃) ∈ ℝ)
245	244, 239	reexpcld 13025	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ((𝐹‘𝑃)↑𝑘) ∈ ℝ)
246	11, 13	abvcl 18824	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑎 ∈ ℚ) → (𝐹‘𝑎) ∈ ℝ)
247	195, 201, 246	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹‘𝑎) ∈ ℝ)
248	245, 247	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (((𝐹‘𝑃)↑𝑘) · (𝐹‘𝑎)) ∈ ℝ)
249		elz 11379	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ ↔ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑎 = 0 ∨ 𝑎 ∈ ℕ ∨ -𝑎 ∈ ℕ)))
250	249	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (𝑎 = 0 ∨ 𝑎 ∈ ℕ ∨ -𝑎 ∈ ℕ))
251	250	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑎 = 0 ∨ 𝑎 ∈ ℕ ∨ -𝑎 ∈ ℕ))
252	11, 17	abv0 18831	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘0) = 0)
253	2, 252	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) = 0)
254		0le1 10551	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ 0 ≤ 1
255	253, 254	syl6eqbr 4692	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) ≤ 1)
256	255	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝐹‘0) ≤ 1)
257		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘0))
258	257	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝐹‘𝑎) ≤ 1 ↔ (𝐹‘0) ≤ 1))
259	256, 258	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑎 = 0 → (𝐹‘𝑎) ≤ 1))
260		ostth3.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛))
261		nnq 11801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℚ)
262	11, 13	abvcl 18824	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑛 ∈ ℚ) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℝ)
263	2, 261, 262	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℝ)
264		1re 10039	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ 1 ∈ ℝ
265		lenlt 10116	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (((𝐹‘𝑛) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑛) ≤ 1 ↔ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛)))
266	263, 264, 265	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑛) ≤ 1 ↔ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛)))
267	266	ralbidva 2985	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝜑 → (∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ≤ 1 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛)))
268	260, 267	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ≤ 1)
269		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑛 = 𝑎 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑎))
270	269	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑛 = 𝑎 → ((𝐹‘𝑛) ≤ 1 ↔ (𝐹‘𝑎) ≤ 1))
271	270	rspccv 3306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ≤ 1 → (𝑎 ∈ ℕ → (𝐹‘𝑎) ≤ 1))
272	268, 271	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ ℕ → (𝐹‘𝑎) ≤ 1))
273	272	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑎 ∈ ℕ → (𝐹‘𝑎) ≤ 1))
274	2	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ -𝑎 ∈ ℕ)) → 𝐹 ∈ 𝐴)
275	200	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ -𝑎 ∈ ℕ)) → 𝑎 ∈ ℚ)
276		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (inv_g‘𝑄) = (inv_g‘𝑄)
277	11, 13, 276	abvneg 18834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑎 ∈ ℚ) → (𝐹‘((inv_g‘𝑄)‘𝑎)) = (𝐹‘𝑎))
278	274, 275, 277	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ -𝑎 ∈ ℕ)) → (𝐹‘((inv_g‘𝑄)‘𝑎)) = (𝐹‘𝑎))
279	12	qrngneg 25312	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝑎 ∈ ℚ → ((inv_g‘𝑄)‘𝑎) = -𝑎)
280	275, 279	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ -𝑎 ∈ ℕ)) → ((inv_g‘𝑄)‘𝑎) = -𝑎)
281		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ -𝑎 ∈ ℕ)) → -𝑎 ∈ ℕ)
282	280, 281	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ -𝑎 ∈ ℕ)) → ((inv_g‘𝑄)‘𝑎) ∈ ℕ)
283	268	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ -𝑎 ∈ ℕ)) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ≤ 1)
284		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝑛 = ((inv_g‘𝑄)‘𝑎) → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘((inv_g‘𝑄)‘𝑎)))
285	284	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑛 = ((inv_g‘𝑄)‘𝑎) → ((𝐹‘𝑛) ≤ 1 ↔ (𝐹‘((inv_g‘𝑄)‘𝑎)) ≤ 1))
286	285	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (((inv_g‘𝑄)‘𝑎) ∈ ℕ → (∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ≤ 1 → (𝐹‘((inv_g‘𝑄)‘𝑎)) ≤ 1))
287	282, 283, 286	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ -𝑎 ∈ ℕ)) → (𝐹‘((inv_g‘𝑄)‘𝑎)) ≤ 1)
288	278, 287	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ -𝑎 ∈ ℕ)) → (𝐹‘𝑎) ≤ 1)
289	288	expr 643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (-𝑎 ∈ ℕ → (𝐹‘𝑎) ≤ 1))
290	259, 273, 289	3jaod 1392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝑎 = 0 ∨ 𝑎 ∈ ℕ ∨ -𝑎 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑎) ≤ 1))
291	251, 290	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝐹‘𝑎) ≤ 1)
292	291	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℤ (𝐹‘𝑎) ≤ 1)
293	292	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ∀𝑎 ∈ ℤ (𝐹‘𝑎) ≤ 1)
294		rsp 2929	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (∀𝑎 ∈ ℤ (𝐹‘𝑎) ≤ 1 → (𝑎 ∈ ℤ → (𝐹‘𝑎) ≤ 1))
295	293, 199, 294	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹‘𝑎) ≤ 1)
296	264	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 1 ∈ ℝ)
297	161	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 𝑘 ∈ ℤ)
298	19	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 0 < (𝐹‘𝑃))
299		expgt0 12893	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐹‘𝑃)) → 0 < ((𝐹‘𝑃)↑𝑘))
300	244, 297, 298, 299	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 0 < ((𝐹‘𝑃)↑𝑘))
301		lemul2 10876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝐹‘𝑎) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (((𝐹‘𝑃)↑𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝐹‘𝑃)↑𝑘))) → ((𝐹‘𝑎) ≤ 1 ↔ (((𝐹‘𝑃)↑𝑘) · (𝐹‘𝑎)) ≤ (((𝐹‘𝑃)↑𝑘) · 1)))
302	247, 296, 245, 300, 301	syl112anc 1330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ((𝐹‘𝑎) ≤ 1 ↔ (((𝐹‘𝑃)↑𝑘) · (𝐹‘𝑎)) ≤ (((𝐹‘𝑃)↑𝑘) · 1)))
303	295, 302	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (((𝐹‘𝑃)↑𝑘) · (𝐹‘𝑎)) ≤ (((𝐹‘𝑃)↑𝑘) · 1))
304	245	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ((𝐹‘𝑃)↑𝑘) ∈ ℂ)
305	304	mulid1d 10057	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (((𝐹‘𝑃)↑𝑘) · 1) = ((𝐹‘𝑃)↑𝑘))
306	303, 305	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (((𝐹‘𝑃)↑𝑘) · (𝐹‘𝑎)) ≤ ((𝐹‘𝑃)↑𝑘))
307	144	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) → 𝑆 ∈ ℝ)
308	307	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 𝑆 ∈ ℝ)
309	142	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹‘𝑃) ∈ ℝ⁺)
310	309	rpge0d 11876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 0 ≤ (𝐹‘𝑃))
311	174	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 𝑝 ∈ ℕ)
312	311, 101	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 𝑝 ∈ ℚ)
313	195, 312, 136	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹‘𝑝) ∈ ℝ)
314		max1 12016	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑝) ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑃) ≤ if((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑃)))
315	244, 313, 314	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹‘𝑃) ≤ if((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑃)))
316	315, 134	syl6breqr 4695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹‘𝑃) ≤ 𝑆)
317		leexp1a 12919	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) ∧ (0 ≤ (𝐹‘𝑃) ∧ (𝐹‘𝑃) ≤ 𝑆)) → ((𝐹‘𝑃)↑𝑘) ≤ (𝑆↑𝑘))
318	244, 308, 239, 310, 316, 317	syl32anc 1334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ((𝐹‘𝑃)↑𝑘) ≤ (𝑆↑𝑘))
319	248, 245, 224, 306, 318	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (((𝐹‘𝑃)↑𝑘) · (𝐹‘𝑎)) ≤ (𝑆↑𝑘))
320	243, 319	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹‘((𝑃↑𝑘) · 𝑎)) ≤ (𝑆↑𝑘))
321	11, 13, 235	abvmul 18829	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝↑𝑘) ∈ ℚ ∧ 𝑏 ∈ ℚ) → (𝐹‘((𝑝↑𝑘) · 𝑏)) = ((𝐹‘(𝑝↑𝑘)) · (𝐹‘𝑏)))
322	195, 206, 209, 321	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹‘((𝑝↑𝑘) · 𝑏)) = ((𝐹‘(𝑝↑𝑘)) · (𝐹‘𝑏)))
323	12, 11	qabvexp 25315	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → (𝐹‘(𝑝↑𝑘)) = ((𝐹‘𝑝)↑𝑘))
324	195, 312, 239, 323	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹‘(𝑝↑𝑘)) = ((𝐹‘𝑝)↑𝑘))
325	324	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ((𝐹‘(𝑝↑𝑘)) · (𝐹‘𝑏)) = (((𝐹‘𝑝)↑𝑘) · (𝐹‘𝑏)))
326	322, 325	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹‘((𝑝↑𝑘) · 𝑏)) = (((𝐹‘𝑝)↑𝑘) · (𝐹‘𝑏)))
327	313, 239	reexpcld 13025	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ((𝐹‘𝑝)↑𝑘) ∈ ℝ)
328	11, 13	abvcl 18824	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ℚ) → (𝐹‘𝑏) ∈ ℝ)
329	195, 209, 328	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹‘𝑏) ∈ ℝ)
330	327, 329	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (((𝐹‘𝑝)↑𝑘) · (𝐹‘𝑏)) ∈ ℝ)
331		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏))
332	331	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝐹‘𝑎) ≤ 1 ↔ (𝐹‘𝑏) ≤ 1))
333	332	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ → (∀𝑎 ∈ ℤ (𝐹‘𝑎) ≤ 1 → (𝐹‘𝑏) ≤ 1))
334	207, 293, 333	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹‘𝑏) ≤ 1)
335	311	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 𝑝 ≠ 0)
336	195, 312, 335, 138	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 0 < (𝐹‘𝑝))
337		expgt0 12893	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝐹‘𝑝) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐹‘𝑝)) → 0 < ((𝐹‘𝑝)↑𝑘))
338	313, 297, 336, 337	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 0 < ((𝐹‘𝑝)↑𝑘))
339		lemul2 10876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝐹‘𝑏) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (((𝐹‘𝑝)↑𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝐹‘𝑝)↑𝑘))) → ((𝐹‘𝑏) ≤ 1 ↔ (((𝐹‘𝑝)↑𝑘) · (𝐹‘𝑏)) ≤ (((𝐹‘𝑝)↑𝑘) · 1)))
340	329, 296, 327, 338, 339	syl112anc 1330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ((𝐹‘𝑏) ≤ 1 ↔ (((𝐹‘𝑝)↑𝑘) · (𝐹‘𝑏)) ≤ (((𝐹‘𝑝)↑𝑘) · 1)))
341	334, 340	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (((𝐹‘𝑝)↑𝑘) · (𝐹‘𝑏)) ≤ (((𝐹‘𝑝)↑𝑘) · 1))
342	327	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ((𝐹‘𝑝)↑𝑘) ∈ ℂ)
343	342	mulid1d 10057	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (((𝐹‘𝑝)↑𝑘) · 1) = ((𝐹‘𝑝)↑𝑘))
344	341, 343	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (((𝐹‘𝑝)↑𝑘) · (𝐹‘𝑏)) ≤ ((𝐹‘𝑝)↑𝑘))
345	141	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹‘𝑝) ∈ ℝ⁺)
346	345	rpge0d 11876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 0 ≤ (𝐹‘𝑝))
347		max2 12018	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑝) ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑝) ≤ if((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑃)))
348	244, 313, 347	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹‘𝑝) ≤ if((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑃)))
349	348, 134	syl6breqr 4695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹‘𝑝) ≤ 𝑆)
350		leexp1a 12919	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝐹‘𝑝) ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) ∧ (0 ≤ (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑝) ≤ 𝑆)) → ((𝐹‘𝑝)↑𝑘) ≤ (𝑆↑𝑘))
351	313, 308, 239, 346, 349, 350	syl32anc 1334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ((𝐹‘𝑝)↑𝑘) ≤ (𝑆↑𝑘))
352	330, 327, 224, 344, 351	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (((𝐹‘𝑝)↑𝑘) · (𝐹‘𝑏)) ≤ (𝑆↑𝑘))
353	326, 352	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹‘((𝑝↑𝑘) · 𝑏)) ≤ (𝑆↑𝑘))
354	217, 219, 224, 224, 320, 353	le2addd 10646	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ((𝐹‘((𝑃↑𝑘) · 𝑎)) + (𝐹‘((𝑝↑𝑘) · 𝑏))) ≤ ((𝑆↑𝑘) + (𝑆↑𝑘)))
355	222	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑆↑𝑘) ∈ ℂ)
356	355	2timesd 11275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · (𝑆↑𝑘)) = ((𝑆↑𝑘) + (𝑆↑𝑘)))
357	356	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (2 · (𝑆↑𝑘)) = ((𝑆↑𝑘) + (𝑆↑𝑘)))
358	354, 357	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ((𝐹‘((𝑃↑𝑘) · 𝑎)) + (𝐹‘((𝑝↑𝑘) · 𝑏))) ≤ (2 · (𝑆↑𝑘)))
359	215, 220, 226, 232, 358	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹‘(((𝑃↑𝑘) · 𝑎) + ((𝑝↑𝑘) · 𝑏))) ≤ (2 · (𝑆↑𝑘)))
360		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (1 = (((𝑃↑𝑘) · 𝑎) + ((𝑝↑𝑘) · 𝑏)) → (𝐹‘1) = (𝐹‘(((𝑃↑𝑘) · 𝑎) + ((𝑝↑𝑘) · 𝑏))))
361	360	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (1 = (((𝑃↑𝑘) · 𝑎) + ((𝑝↑𝑘) · 𝑏)) → ((𝐹‘1) ≤ (2 · (𝑆↑𝑘)) ↔ (𝐹‘(((𝑃↑𝑘) · 𝑎) + ((𝑝↑𝑘) · 𝑏))) ≤ (2 · (𝑆↑𝑘))))
362	359, 361	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (1 = (((𝑃↑𝑘) · 𝑎) + ((𝑝↑𝑘) · 𝑏)) → (𝐹‘1) ≤ (2 · (𝑆↑𝑘))))
363	194, 362	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (((𝑃↑𝑘) gcd (𝑝↑𝑘)) = (((𝑃↑𝑘) · 𝑎) + ((𝑝↑𝑘) · 𝑏)) → (𝐹‘1) ≤ (2 · (𝑆↑𝑘))))
364	363	anassrs 680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (((𝑃↑𝑘) gcd (𝑝↑𝑘)) = (((𝑃↑𝑘) · 𝑎) + ((𝑝↑𝑘) · 𝑏)) → (𝐹‘1) ≤ (2 · (𝑆↑𝑘))))
365	364	rexlimdvva 3038	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ ((𝑃↑𝑘) gcd (𝑝↑𝑘)) = (((𝑃↑𝑘) · 𝑎) + ((𝑝↑𝑘) · 𝑏)) → (𝐹‘1) ≤ (2 · (𝑆↑𝑘))))
366	179, 365	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘1) ≤ (2 · (𝑆↑𝑘)))
367	168, 366	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ≤ (2 · (𝑆↑𝑘)))
368	222	rpregt0d 11878	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑆↑𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑆↑𝑘)))
369		ledivmul2 10902	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ ((𝑆↑𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑆↑𝑘))) → ((1 / (𝑆↑𝑘)) ≤ 2 ↔ 1 ≤ (2 · (𝑆↑𝑘))))
370	264, 132, 369	mp3an12 1414	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑆↑𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑆↑𝑘)) → ((1 / (𝑆↑𝑘)) ≤ 2 ↔ 1 ≤ (2 · (𝑆↑𝑘))))
371	368, 370	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / (𝑆↑𝑘)) ≤ 2 ↔ 1 ≤ (2 · (𝑆↑𝑘))))
372	367, 371	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / (𝑆↑𝑘)) ≤ 2)
373	163, 372	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑆)↑𝑘) ≤ 2)
374		reexpcl 12877	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((1 / 𝑆) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → ((1 / 𝑆)↑𝑘) ∈ ℝ)
375	145, 170, 374	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑆)↑𝑘) ∈ ℝ)
376		lenlt 10116	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((1 / 𝑆)↑𝑘) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → (((1 / 𝑆)↑𝑘) ≤ 2 ↔ ¬ 2 < ((1 / 𝑆)↑𝑘)))
377	375, 132, 376	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((1 / 𝑆)↑𝑘) ≤ 2 ↔ ¬ 2 < ((1 / 𝑆)↑𝑘)))
378	373, 377	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ¬ 2 < ((1 / 𝑆)↑𝑘))
379	378	pm2.21d 118	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 < ((1 / 𝑆)↑𝑘) → ¬ (𝐹‘𝑝) < 1))
380	379	rexlimdva 3031	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) → (∃𝑘 ∈ ℕ 2 < ((1 / 𝑆)↑𝑘) → ¬ (𝐹‘𝑝) < 1))
381	156, 380	mpd 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) → ¬ (𝐹‘𝑝) < 1)
382	381	expr 643	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑝) → ((𝐹‘𝑝) < 1 → ¬ (𝐹‘𝑝) < 1))
383	382	pm2.01d 181	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑝) → ¬ (𝐹‘𝑝) < 1)
384	260	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑝) → ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛))
385		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑝 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑝))
386	385	breq2d 4665	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑝 → (1 < (𝐹‘𝑛) ↔ 1 < (𝐹‘𝑝)))
387	386	notbid 308	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑝 → (¬ 1 < (𝐹‘𝑛) ↔ ¬ 1 < (𝐹‘𝑝)))
388	387	rspcv 3305	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → (∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛) → ¬ 1 < (𝐹‘𝑝)))
389	100, 384, 388	sylc 65	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑝) → ¬ 1 < (𝐹‘𝑝))
390		lttri3 10121	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹‘𝑝) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑝) = 1 ↔ (¬ (𝐹‘𝑝) < 1 ∧ ¬ 1 < (𝐹‘𝑝))))
391	137, 264, 390	sylancl 694	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑝) → ((𝐹‘𝑝) = 1 ↔ (¬ (𝐹‘𝑝) < 1 ∧ ¬ 1 < (𝐹‘𝑝))))
392	383, 389, 391	mpbir2and 957	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑝) → (𝐹‘𝑝) = 1)
393	109, 131, 392	3eqtr4d 2666	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑝) → (((𝐽‘𝑃)‘𝑝)↑_𝑐𝑅) = (𝐹‘𝑝))
394	107, 393	eqtr2d 2657	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑝) → (𝐹‘𝑝) = ((𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑃)‘𝑦)↑_𝑐𝑅))‘𝑝))
395	394	ex 450	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑃 ≠ 𝑝 → (𝐹‘𝑝) = ((𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑃)‘𝑦)↑_𝑐𝑅))‘𝑝)))
396	98, 395	pm2.61dne 2880	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐹‘𝑝) = ((𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑃)‘𝑦)↑_𝑐𝑅))‘𝑝))
397	12, 11, 2, 47, 396	ostthlem2 25317	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑃)‘𝑦)↑_𝑐𝑅)))
398		oveq2 6658	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑅 → (((𝐽‘𝑃)‘𝑦)↑_𝑐𝑎) = (((𝐽‘𝑃)‘𝑦)↑_𝑐𝑅))
399	398	mpteq2dv 4745	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑅 → (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑃)‘𝑦)↑_𝑐𝑎)) = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑃)‘𝑦)↑_𝑐𝑅)))
400	399	eqeq2d 2632	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑅 → (𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑃)‘𝑦)↑_𝑐𝑎)) ↔ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑃)‘𝑦)↑_𝑐𝑅))))
401	400	rspcev 3309	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑃)‘𝑦)↑_𝑐𝑅))) → ∃𝑎 ∈ ℝ⁺ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑃)‘𝑦)↑_𝑐𝑎)))
402	44, 397, 401	syl2anc 693	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℝ⁺ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑃)‘𝑦)↑_𝑐𝑎)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 196 ∧ wa 384 ∨ w3o 1036 = wceq 1483 ∈ wcel 1990 ≠ wne 2794 ∀wral 2912 ∃wrex 2913 Vcvv 3200 ifcif 4086 class class class wbr 4653 ↦ cmpt 4729 ‘cfv 5888 (class class class)co 6650 ℂcc 9934 ℝcr 9935 0cc0 9936 1c1 9937 + caddc 9939 · cmul 9941 < clt 10074 ≤ cle 10075 -cneg 10267 / cdiv 10684 ℕcn 11020 2c2 11070 ℕ₀cn0 11292 ℤcz 11377 ℤ_≥cuz 11687 ℚcq 11788 ℝ⁺crp 11832 ↑cexp 12860 expce 14792 ∥ cdvds 14983 gcd cgcd 15216 ℙcprime 15385 pCnt cpc 15541 ↾_s cress 15858 +_gcplusg 15941 ._rcmulr 15942 inv_gcminusg 17423 AbsValcabv 18816 ℂ_fldccnfld 19746 logclog 24301 ↑_𝑐ccxp 24302

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014 ax-addf 10015 ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-iin 4523 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-of 6897 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-supp 7296 df-tpos 7352 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-oadd 7564 df-er 7742 df-map 7859 df-pm 7860 df-ixp 7909 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-fsupp 8276 df-fi 8317 df-sup 8348 df-inf 8349 df-oi 8415 df-card 8765 df-cda 8990 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-4 11081 df-5 11082 df-6 11083 df-7 11084 df-8 11085 df-9 11086 df-n0 11293 df-z 11378 df-dec 11494 df-uz 11688 df-q 11789 df-rp 11833 df-xneg 11946 df-xadd 11947 df-xmul 11948 df-ioo 12179 df-ioc 12180 df-ico 12181 df-icc 12182 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-fl 12593 df-mod 12669 df-seq 12802 df-exp 12861 df-fac 13061 df-bc 13090 df-hash 13118 df-shft 13807 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-limsup 14202 df-clim 14219 df-rlim 14220 df-sum 14417 df-ef 14798 df-sin 14800 df-cos 14801 df-pi 14803 df-dvds 14984 df-gcd 15217 df-prm 15386 df-pc 15542 df-struct 15859 df-ndx 15860 df-slot 15861 df-base 15863 df-sets 15864 df-ress 15865 df-plusg 15954 df-mulr 15955 df-starv 15956 df-sca 15957 df-vsca 15958 df-ip 15959 df-tset 15960 df-ple 15961 df-ds 15964 df-unif 15965 df-hom 15966 df-cco 15967 df-rest 16083 df-topn 16084 df-0g 16102 df-gsum 16103 df-topgen 16104 df-pt 16105 df-prds 16108 df-xrs 16162 df-qtop 16167 df-imas 16168 df-xps 16170 df-mre 16246 df-mrc 16247 df-acs 16249 df-mgm 17242 df-sgrp 17284 df-mnd 17295 df-submnd 17336 df-grp 17425 df-minusg 17426 df-mulg 17541 df-subg 17591 df-cntz 17750 df-cmn 18195 df-mgp 18490 df-ur 18502 df-ring 18549 df-cring 18550 df-oppr 18623 df-dvdsr 18641 df-unit 18642 df-invr 18672 df-dvr 18683 df-drng 18749 df-subrg 18778 df-abv 18817 df-psmet 19738 df-xmet 19739 df-met 19740 df-bl 19741 df-mopn 19742 df-fbas 19743 df-fg 19744 df-cnfld 19747 df-top 20699 df-topon 20716 df-topsp 20737 df-bases 20750 df-cld 20823 df-ntr 20824 df-cls 20825 df-nei 20902 df-lp 20940 df-perf 20941 df-cn 21031 df-cnp 21032 df-haus 21119 df-tx 21365 df-hmeo 21558 df-fil 21650 df-fm 21742 df-flim 21743 df-flf 21744 df-xms 22125 df-ms 22126 df-tms 22127 df-cncf 22681 df-limc 23630 df-dv 23631 df-log 24303 df-cxp 24304

This theorem is referenced by: ostth 25328

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