Theorem hlpos 34652

Description: A Hilbert lattice is a poset. (Contributed by NM, 20-Oct-2011.)

Assertion

Ref	Expression
hlpos	⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)

Proof of Theorem hlpos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 34650	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2		latpos 17050	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → 𝐾 ∈ Poset)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1990  Posetcpo 16940  Latclat 17045  HLchlt 34637

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-xp 5120  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fv 5896  df-ov 6653  df-lat 17046  df-atl 34585  df-cvlat 34609  df-hlat 34638

This theorem is referenced by:  hlhgt2  34675  hl0lt1N  34676  cvrval3  34699  cvrexchlem  34705  cvratlem  34707  cvrat  34708  atlelt  34724  2atlt  34725  athgt  34742  1cvratex  34759  ps-2  34764  llnnleat  34799  llncmp  34808  2llnmat  34810  lplnnle2at  34827  llncvrlpln  34844  lplncmp  34848  lvolnle3at  34868  lplncvrlvol  34902  lvolcmp  34903  pmaple  35047  2lnat  35070  2atm2atN  35071  lhp2lt  35287  lhp0lt  35289  dia2dimlem2  36354  dia2dimlem3  36355  dih1  36575