Theorem kmlem8 8979

Description: Lemma for 5-quantifier AC of Kurt Maes, Th. 4 1 <=> 4. (Contributed by NM, 4-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
kmlem8	⊢ ((¬ ∃𝑧 ∈ 𝑢 ∀𝑤 ∈ 𝑧 𝜓 → ∃𝑦∀𝑧 ∈ 𝑢 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦))) ↔ (∃𝑧 ∈ 𝑢 ∀𝑤 ∈ 𝑧 𝜓 ∨ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝑢 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑢 ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦))))

Distinct variable group:   𝑦,𝑢,𝑤,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑦,𝑧,𝑤,𝑢)

Proof of Theorem kmlem8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ralnex 2992	. . . . 5 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑢 ¬ ∀𝑤 ∈ 𝑧 𝜓 ↔ ¬ ∃𝑧 ∈ 𝑢 ∀𝑤 ∈ 𝑧 𝜓)
2		df-rex 2918	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑤 ∈ 𝑧 ¬ 𝜓 ↔ ∃𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 ∧ ¬ 𝜓))
3		rexnal 2995	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑤 ∈ 𝑧 ¬ 𝜓 ↔ ¬ ∀𝑤 ∈ 𝑧 𝜓)
4	2, 3	bitr3i 266	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 ∧ ¬ 𝜓) ↔ ¬ ∀𝑤 ∈ 𝑧 𝜓)
5		exsimpl 1795	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 ∧ ¬ 𝜓) → ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑧)
6		n0 3931	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ≠ ∅ ↔ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑧)
7	5, 6	sylibr 224	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 ∧ ¬ 𝜓) → 𝑧 ≠ ∅)
8	4, 7	sylbir 225	. . . . . 6 ⊢ (¬ ∀𝑤 ∈ 𝑧 𝜓 → 𝑧 ≠ ∅)
9	8	ralimi 2952	. . . . 5 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑢 ¬ ∀𝑤 ∈ 𝑧 𝜓 → ∀𝑧 ∈ 𝑢 𝑧 ≠ ∅)
10	1, 9	sylbir 225	. . . 4 ⊢ (¬ ∃𝑧 ∈ 𝑢 ∀𝑤 ∈ 𝑧 𝜓 → ∀𝑧 ∈ 𝑢 𝑧 ≠ ∅)
11		biimt 350	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ≠ ∅ → (∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦) ↔ (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦))))
12	11	ralimi 2952	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑢 𝑧 ≠ ∅ → ∀𝑧 ∈ 𝑢 (∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦) ↔ (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦))))
13		ralbi 3068	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑢 (∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦) ↔ (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦))) → (∀𝑧 ∈ 𝑢 ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑢 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦))))
14	12, 13	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑢 𝑧 ≠ ∅ → (∀𝑧 ∈ 𝑢 ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑢 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦))))
15	14	anbi2d 740	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑢 𝑧 ≠ ∅ → ((¬ 𝑦 ∈ 𝑢 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑢 ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦)) ↔ (¬ 𝑦 ∈ 𝑢 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑢 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦)))))
16	15	exbidv 1850	. . . . 5 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑢 𝑧 ≠ ∅ → (∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝑢 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑢 ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦)) ↔ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝑢 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑢 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦)))))
17		kmlem2 8973	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦∀𝑧 ∈ 𝑢 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦)) ↔ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝑢 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑢 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦))))
18	16, 17	syl6rbbr 279	. . . 4 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑢 𝑧 ≠ ∅ → (∃𝑦∀𝑧 ∈ 𝑢 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦)) ↔ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝑢 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑢 ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦))))
19	10, 18	syl 17	. . 3 ⊢ (¬ ∃𝑧 ∈ 𝑢 ∀𝑤 ∈ 𝑧 𝜓 → (∃𝑦∀𝑧 ∈ 𝑢 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦)) ↔ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝑢 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑢 ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦))))
20	19	pm5.74i 260	. 2 ⊢ ((¬ ∃𝑧 ∈ 𝑢 ∀𝑤 ∈ 𝑧 𝜓 → ∃𝑦∀𝑧 ∈ 𝑢 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦))) ↔ (¬ ∃𝑧 ∈ 𝑢 ∀𝑤 ∈ 𝑧 𝜓 → ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝑢 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑢 ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦))))
21		pm4.64 387	. 2 ⊢ ((¬ ∃𝑧 ∈ 𝑢 ∀𝑤 ∈ 𝑧 𝜓 → ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝑢 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑢 ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦))) ↔ (∃𝑧 ∈ 𝑢 ∀𝑤 ∈ 𝑧 𝜓 ∨ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝑢 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑢 ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦))))
22	20, 21	bitri 264	1 ⊢ ((¬ ∃𝑧 ∈ 𝑢 ∀𝑤 ∈ 𝑧 𝜓 → ∃𝑦∀𝑧 ∈ 𝑢 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦))) ↔ (∃𝑧 ∈ 𝑢 ∀𝑤 ∈ 𝑧 𝜓 ∨ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝑢 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑢 ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 383   ∧ wa 384  ∃wex 1704   ∈ wcel 1990  ∃!weu 2470   ≠ wne 2794  ∀wral 2912  ∃wrex 2913   ∩ cin 3573  ∅c0 3915

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-sn 4178  df-pr 4180  df-uni 4437

This theorem is referenced by:  dfackm  8988