Theorem latasymd 17057

Description: Deduce equality from lattice ordering. (eqssd 3620 analog.) (Contributed by NM, 18-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latasymd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latasymd.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
latasymd.3	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Lat)
latasymd.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
latasymd.5	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
latasymd.6	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
latasymd.7	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≤ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
latasymd	⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝑌)

Proof of Theorem latasymd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latasymd.6	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
2		latasymd.7	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≤ 𝑋)
3		latasymd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Lat)
4		latasymd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		latasymd.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
6		latasymd.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
7		latasymd.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
8	6, 7	latasymb 17054	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) ↔ 𝑋 = 𝑌))
9	3, 4, 5, 8	syl3anc 1326	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) ↔ 𝑋 = 𝑌))
10	1, 2, 9	mpbi2and 956	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   class class class wbr 4653  ‘cfv 5888  Basecbs 15857  lecple 15948  Latclat 17045

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-nul 4789

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-xp 5120  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fv 5896  df-preset 16928  df-poset 16946  df-lat 17046

This theorem is referenced by:  latjidm  17074  latmidm  17086  latjass  17095  oldmm1  34504  olj01  34512  olm01  34523  cvlcvr1  34626  llnmlplnN  34825  2llnjaN  34852  2lplnja  34905  cdlema1N  35077  hlmod1i  35142  lautj  35379  lautm  35380  cdleme19a  35591  cdleme28b  35659  trljco  36028  dochvalr  36646