Theorem lattrd 17058

Description: A lattice ordering is transitive. Deduction version of lattr 17056. (Contributed by NM, 3-Sep-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lattrd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lattrd.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lattrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Lat)
lattrd.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
lattrd.3	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
lattrd.4	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
lattrd.5	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
lattrd.6	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≤ 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
lattrd	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑍)

Proof of Theorem lattrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lattrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
2		lattrd.6	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≤ 𝑍)
3		lattrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Lat)
4		lattrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		lattrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
6		lattrd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
7		lattrd.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
8		lattrd.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
9	7, 8	lattr 17056	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑍) → 𝑋 ≤ 𝑍))
10	3, 4, 5, 6, 9	syl13anc 1328	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑍) → 𝑋 ≤ 𝑍))
11	1, 2, 10	mp2and 715	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   class class class wbr 4653  ‘cfv 5888  Basecbs 15857  lecple 15948  Latclat 17045

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-nul 4789

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-xp 5120  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fv 5896  df-poset 16946  df-lat 17046

This theorem is referenced by:  latmlej11  17090  latjass  17095  lubun  17123  cvlcvr1  34626  exatleN  34690  2atjm  34731  2llnmat  34810  llnmlplnN  34825  2llnjaN  34852  2lplnja  34905  dalem5  34953  lncmp  35069  2lnat  35070  2llnma1b  35072  cdlema1N  35077  paddasslem5  35110  paddasslem12  35117  paddasslem13  35118  dalawlem3  35159  dalawlem5  35161  dalawlem6  35162  dalawlem7  35163  dalawlem8  35164  dalawlem11  35167  dalawlem12  35168  pl42lem1N  35265  lhpexle2lem  35295  lhpexle3lem  35297  4atexlemtlw  35353  4atexlemc  35355  cdleme15  35565  cdleme17b  35574  cdleme22e  35632  cdleme22eALTN  35633  cdleme23a  35637  cdleme28a  35658  cdleme30a  35666  cdleme32e  35733  cdleme35b  35738  trlord  35857  cdlemg10  35929  cdlemg11b  35930  cdlemg17a  35949  cdlemg35  36001  tendococl  36060  tendopltp  36068  cdlemi1  36106  cdlemk11  36137  cdlemk5u  36149  cdlemk11u  36159  cdlemk52  36242  dialss  36335  diaglbN  36344  diaintclN  36347  dia2dimlem1  36353  cdlemm10N  36407  djajN  36426  dibglbN  36455  dibintclN  36456  diblss  36459  cdlemn10  36495  dihord1  36507  dihord2pre2  36515  dihopelvalcpre  36537  dihord5apre  36551  dihmeetlem1N  36579  dihglblem2N  36583  dihmeetlem2N  36588  dihglbcpreN  36589  dihmeetlem3N  36594