Theorem lautm 35380

Description: Meet property of a lattice automorphism. (Contributed by NM, 19-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lautm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lautm.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
lautm.i	⊢ 𝐼 = (LAut‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lautm	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑋 ∧ 𝑌)) = ((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)))

Proof of Theorem lautm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lautm.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2622	. 2 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3		simpl 473	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ Lat)
4		simpr1 1067	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝐹 ∈ 𝐼)
5	3, 4	jca 554	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐾 ∈ Lat ∧ 𝐹 ∈ 𝐼))
6		lautm.m	. . . . 5 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
7	1, 6	latmcl 17052	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)
8	7	3adant3r1 1274	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)
9		lautm.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (LAut‘𝐾)
10	1, 9	lautcl 35373	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑋 ∧ 𝑌)) ∈ 𝐵)
11	5, 8, 10	syl2anc 693	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑋 ∧ 𝑌)) ∈ 𝐵)
12		simpr2 1068	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
13	1, 9	lautcl 35373	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵)
14	5, 12, 13	syl2anc 693	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵)
15		simpr3 1069	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
16	1, 9	lautcl 35373	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑌) ∈ 𝐵)
17	5, 15, 16	syl2anc 693	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑌) ∈ 𝐵)
18	1, 6	latmcl 17052	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)) ∈ 𝐵)
19	3, 14, 17, 18	syl3anc 1326	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)) ∈ 𝐵)
20	1, 2, 6	latmle1 17076	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑋)
21	20	3adant3r1 1274	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑋)
22	1, 2, 9	lautle 35370	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑋 ↔ (𝐹‘(𝑋 ∧ 𝑌))(le‘𝐾)(𝐹‘𝑋)))
23	5, 8, 12, 22	syl12anc 1324	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑋 ↔ (𝐹‘(𝑋 ∧ 𝑌))(le‘𝐾)(𝐹‘𝑋)))
24	21, 23	mpbid 222	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑋 ∧ 𝑌))(le‘𝐾)(𝐹‘𝑋))
25	1, 2, 6	latmle2 17077	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑌)
26	25	3adant3r1 1274	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑌)
27	1, 2, 9	lautle 35370	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑌 ↔ (𝐹‘(𝑋 ∧ 𝑌))(le‘𝐾)(𝐹‘𝑌)))
28	5, 8, 15, 27	syl12anc 1324	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑌 ↔ (𝐹‘(𝑋 ∧ 𝑌))(le‘𝐾)(𝐹‘𝑌)))
29	26, 28	mpbid 222	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑋 ∧ 𝑌))(le‘𝐾)(𝐹‘𝑌))
30	1, 2, 6	latlem12 17078	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝐹‘(𝑋 ∧ 𝑌)) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝐵)) → (((𝐹‘(𝑋 ∧ 𝑌))(le‘𝐾)(𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘(𝑋 ∧ 𝑌))(le‘𝐾)(𝐹‘𝑌)) ↔ (𝐹‘(𝑋 ∧ 𝑌))(le‘𝐾)((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌))))
31	3, 11, 14, 17, 30	syl13anc 1328	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (((𝐹‘(𝑋 ∧ 𝑌))(le‘𝐾)(𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘(𝑋 ∧ 𝑌))(le‘𝐾)(𝐹‘𝑌)) ↔ (𝐹‘(𝑋 ∧ 𝑌))(le‘𝐾)((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌))))
32	24, 29, 31	mpbi2and 956	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑋 ∧ 𝑌))(le‘𝐾)((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)))
33	1, 9	laut1o 35371	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵)
34	33	3ad2antr1 1226	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵)
35		f1ocnvfv2 6533	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵 ∧ ((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)) ∈ 𝐵) → (𝐹‘(◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)))) = ((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)))
36	34, 19, 35	syl2anc 693	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)))) = ((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)))
37	1, 2, 6	latmle1 17076	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌))(le‘𝐾)(𝐹‘𝑋))
38	3, 14, 17, 37	syl3anc 1326	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌))(le‘𝐾)(𝐹‘𝑋))
39	1, 2, 9	lautcnvle 35375	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ (((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵)) → (((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌))(le‘𝐾)(𝐹‘𝑋) ↔ (◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)))(le‘𝐾)(◡𝐹‘(𝐹‘𝑋))))
40	5, 19, 14, 39	syl12anc 1324	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌))(le‘𝐾)(𝐹‘𝑋) ↔ (◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)))(le‘𝐾)(◡𝐹‘(𝐹‘𝑋))))
41	38, 40	mpbid 222	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)))(le‘𝐾)(◡𝐹‘(𝐹‘𝑋)))
42		f1ocnvfv1 6532	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (◡𝐹‘(𝐹‘𝑋)) = 𝑋)
43	34, 12, 42	syl2anc 693	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (◡𝐹‘(𝐹‘𝑋)) = 𝑋)
44	41, 43	breqtrd 4679	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)))(le‘𝐾)𝑋)
45	1, 2, 6	latmle2 17077	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌))(le‘𝐾)(𝐹‘𝑌))
46	3, 14, 17, 45	syl3anc 1326	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌))(le‘𝐾)(𝐹‘𝑌))
47	1, 2, 9	lautcnvle 35375	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ (((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝐵)) → (((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌))(le‘𝐾)(𝐹‘𝑌) ↔ (◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)))(le‘𝐾)(◡𝐹‘(𝐹‘𝑌))))
48	5, 19, 17, 47	syl12anc 1324	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌))(le‘𝐾)(𝐹‘𝑌) ↔ (◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)))(le‘𝐾)(◡𝐹‘(𝐹‘𝑌))))
49	46, 48	mpbid 222	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)))(le‘𝐾)(◡𝐹‘(𝐹‘𝑌)))
50		f1ocnvfv1 6532	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (◡𝐹‘(𝐹‘𝑌)) = 𝑌)
51	34, 15, 50	syl2anc 693	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (◡𝐹‘(𝐹‘𝑌)) = 𝑌)
52	49, 51	breqtrd 4679	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)))(le‘𝐾)𝑌)
53		f1ocnvdm 6540	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵 ∧ ((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)) ∈ 𝐵) → (◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌))) ∈ 𝐵)
54	34, 19, 53	syl2anc 693	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌))) ∈ 𝐵)
55	1, 2, 6	latlem12 17078	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌))) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (((◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)))(le‘𝐾)𝑋 ∧ (◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)))(le‘𝐾)𝑌) ↔ (◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)))(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)))
56	3, 54, 12, 15, 55	syl13anc 1328	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (((◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)))(le‘𝐾)𝑋 ∧ (◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)))(le‘𝐾)𝑌) ↔ (◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)))(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)))
57	44, 52, 56	mpbi2and 956	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)))(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌))
58	1, 2, 9	lautle 35370	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ ((◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌))) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)) → ((◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)))(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌) ↔ (𝐹‘(◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌))))(le‘𝐾)(𝐹‘(𝑋 ∧ 𝑌))))
59	5, 54, 8, 58	syl12anc 1324	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)))(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌) ↔ (𝐹‘(◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌))))(le‘𝐾)(𝐹‘(𝑋 ∧ 𝑌))))
60	57, 59	mpbid 222	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌))))(le‘𝐾)(𝐹‘(𝑋 ∧ 𝑌)))
61	36, 60	eqbrtrrd 4677	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌))(le‘𝐾)(𝐹‘(𝑋 ∧ 𝑌)))
62	1, 2, 3, 11, 19, 32, 61	latasymd 17057	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑋 ∧ 𝑌)) = ((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   class class class wbr 4653  ^◡ccnv 5113  –1-1-onto→wf1o 5887  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  Basecbs 15857  lecple 15948  meetcmee 16945  Latclat 17045  LAutclaut 35271

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-map 7859  df-preset 16928  df-poset 16946  df-lub 16974  df-glb 16975  df-join 16976  df-meet 16977  df-lat 17046  df-laut 35275

This theorem is referenced by:  ltrnm  35417