2lplnja - Mathbox for Norm Megill

	Mathbox for Norm Megill		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > 2lplnja		Structured version Visualization version GIF version

Theorem 2lplnja 34905

Description: The join of two different lattice planes in a lattice volume equals the volume (version of 2lplnj 34906 in terms of atoms). (Contributed by NM, 12-Jul-2012.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
2lplnja.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
2lplnja.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
2lplnja.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2lplnja.v	⊢ 𝑉 = (LVols‘𝐾)

**Assertion**
Ref	Expression
2lplnja	⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈)) = 𝑊)

**Proof of Theorem 2lplnja**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. 2 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2		2lplnja.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		simp11l 1172	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))) → 𝐾 ∈ HL)
4		hllat 34650	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))) → 𝐾 ∈ Lat)
6		simp121 1193	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))) → 𝑃 ∈ 𝐴)
7		simp122 1194	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))) → 𝑄 ∈ 𝐴)
8		2lplnja.j	. . . . . 6 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
9		2lplnja.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
10	1, 8, 9	hlatjcl 34653	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
11	3, 6, 7, 10	syl3anc 1326	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
12		simp123 1195	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))) → 𝑅 ∈ 𝐴)
13	1, 9	atbase 34576	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
14	12, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))) → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
15	1, 8	latjcl 17051	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
16	5, 11, 14, 15	syl3anc 1326	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
17		simp2l1 1160	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))) → 𝑆 ∈ 𝐴)
18		simp2l2 1161	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))) → 𝑇 ∈ 𝐴)
19	1, 8, 9	hlatjcl 34653	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) → (𝑆 ∨ 𝑇) ∈ (Base‘𝐾))
20	3, 17, 18, 19	syl3anc 1326	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))) → (𝑆 ∨ 𝑇) ∈ (Base‘𝐾))
21		simp2l3 1162	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))) → 𝑈 ∈ 𝐴)
22	1, 9	atbase 34576	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐴 → 𝑈 ∈ (Base‘𝐾))
23	21, 22	syl 17	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))) → 𝑈 ∈ (Base‘𝐾))
24	1, 8	latjcl 17051	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑈 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
25	5, 20, 23, 24	syl3anc 1326	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))) → ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
26	1, 8	latjcl 17051	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾)) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈)) ∈ (Base‘𝐾))
27	5, 16, 25, 26	syl3anc 1326	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈)) ∈ (Base‘𝐾))
28		simp11r 1173	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))) → 𝑊 ∈ 𝑉)
29		2lplnja.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (LVols‘𝐾)
30	1, 29	lvolbase 34864	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
31	28, 30	syl 17	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
32		simp31 1097	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊)
33		simp32 1098	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))) → ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊)
34	1, 2, 8	latjle12 17062	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))) → ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊) ↔ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈)) ≤ 𝑊))
35	5, 16, 25, 31, 34	syl13anc 1328	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))) → ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊) ↔ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈)) ≤ 𝑊))
36	32, 33, 35	mpbi2and 956	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈)) ≤ 𝑊)
37	1, 2, 8	latlej2 17061	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑈 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑈 ≤ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))
38	5, 20, 23, 37	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))) → 𝑈 ≤ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))
39	1, 2, 5, 23, 25, 31, 38, 33	lattrd 17058	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))) → 𝑈 ≤ 𝑊)
40	1, 2, 8	latjle12 17062	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑈 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))) → ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊) ↔ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊))
41	5, 16, 23, 31, 40	syl13anc 1328	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))) → ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊) ↔ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊))
42	32, 39, 41	mpbi2and 956	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊)
43	42	ad2antrr 762	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ 𝑇 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊)
44	3	ad2antrr 762	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ 𝑇 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) → 𝐾 ∈ HL)
45	3, 6, 7	3jca 1242	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴))
46	45	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ 𝑇 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴))
47	12, 21	jca 554	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))) → (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴))
48	47	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ 𝑇 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) → (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴))
49		simp13l 1176	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))) → 𝑃 ≠ 𝑄)
50	49	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ 𝑇 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) → 𝑃 ≠ 𝑄)
51		simp13r 1177	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))) → ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))
52	51	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ 𝑇 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) → ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))
53		simp33 1099	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))
54	53	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ 𝑇 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))
55		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ 𝑇 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) → 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
56		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ 𝑇 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) → 𝑇 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
57	1, 9	atbase 34576	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐴 → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
58	17, 57	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))) → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
59	1, 9	atbase 34576	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐴 → 𝑇 ∈ (Base‘𝐾))
60	18, 59	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))) → 𝑇 ∈ (Base‘𝐾))
61	1, 2, 8	latjle12 17062	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑆 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑇 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∧ 𝑇 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ↔ (𝑆 ∨ 𝑇) ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)))
62	5, 58, 60, 16, 61	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))) → ((𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∧ 𝑇 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ↔ (𝑆 ∨ 𝑇) ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)))
63	62	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ 𝑇 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) → ((𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∧ 𝑇 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ↔ (𝑆 ∨ 𝑇) ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)))
64	55, 56, 63	mpbi2and 956	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ 𝑇 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) → (𝑆 ∨ 𝑇) ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
65	64	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ 𝑇 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ 𝑈 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) → (𝑆 ∨ 𝑇) ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
66		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ 𝑇 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ 𝑈 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) → 𝑈 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
67	1, 2, 8	latjle12 17062	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑈 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))) → (((𝑆 ∨ 𝑇) ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∧ 𝑈 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ↔ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)))
68	5, 20, 23, 16, 67	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))) → (((𝑆 ∨ 𝑇) ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∧ 𝑈 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ↔ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)))
69	68	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ 𝑇 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ 𝑈 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) → (((𝑆 ∨ 𝑇) ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∧ 𝑈 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ↔ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)))
70	65, 66, 69	mpbi2and 956	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ 𝑇 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ 𝑈 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) → ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
71		simp2l 1087	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))) → (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴))
72		simp12 1092	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))) → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴))
73		simp2rr 1131	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))) → ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))
74		simp2rl 1130	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))) → 𝑆 ≠ 𝑇)
75	2, 8, 9	3at 34776	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) → (((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ↔ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)))
76	3, 71, 72, 73, 74, 75	syl32anc 1334	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))) → (((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ↔ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)))
77	76	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ 𝑇 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ 𝑈 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) → (((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ↔ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)))
78	70, 77	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ 𝑇 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ 𝑈 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) → ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
79	78	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ 𝑇 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ 𝑈 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))
80	79	ex 450	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ 𝑇 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) → (𝑈 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈)))
81	80	necon3ad 2807	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ 𝑇 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) → ¬ 𝑈 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)))
82	54, 81	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ 𝑇 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) → ¬ 𝑈 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
83	2, 8, 9, 29	lvoli2 34867	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑈 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑈) ∈ 𝑉)
84	46, 48, 50, 52, 82, 83	syl113anc 1338	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ 𝑇 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑈) ∈ 𝑉)
85	28	ad2antrr 762	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ 𝑇 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) → 𝑊 ∈ 𝑉)
86	2, 29	lvolcmp 34903	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑈) ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) → ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ↔ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑈) = 𝑊))
87	44, 84, 85, 86	syl3anc 1326	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ 𝑇 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) → ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ↔ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑈) = 𝑊))
88	43, 87	mpbid 222	. . . . 5 ⊢ ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ 𝑇 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑈) = 𝑊)
89	1, 2, 8	latjlej2 17066	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑈 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))) → (𝑈 ≤ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑈) ≤ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))))
90	5, 23, 25, 16, 89	syl13anc 1328	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))) → (𝑈 ≤ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑈) ≤ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))))
91	38, 90	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑈) ≤ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈)))
92	91	ad2antrr 762	. . . . 5 ⊢ ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ 𝑇 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑈) ≤ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈)))
93	88, 92	eqbrtrrd 4677	. . . 4 ⊢ ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ 𝑇 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) → 𝑊 ≤ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈)))
94	1, 8, 9	hlatjcl 34653	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) → (𝑆 ∨ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
95	3, 17, 21, 94	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))) → (𝑆 ∨ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
96	1, 2, 8	latlej2 17061	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑆 ∨ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑇 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑇 ≤ ((𝑆 ∨ 𝑈) ∨ 𝑇))
97	5, 95, 60, 96	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))) → 𝑇 ≤ ((𝑆 ∨ 𝑈) ∨ 𝑇))
98	8, 9	hlatj32 34658	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) = ((𝑆 ∨ 𝑈) ∨ 𝑇))
99	3, 17, 18, 21, 98	syl13anc 1328	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))) → ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) = ((𝑆 ∨ 𝑈) ∨ 𝑇))
100	97, 99	breqtrrd 4681	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))) → 𝑇 ≤ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))
101	1, 2, 5, 60, 25, 31, 100, 33	lattrd 17058	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))) → 𝑇 ≤ 𝑊)
102	1, 2, 8	latjle12 17062	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑇 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))) → ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ 𝑇 ≤ 𝑊) ↔ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑇) ≤ 𝑊))
103	5, 16, 60, 31, 102	syl13anc 1328	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))) → ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ 𝑇 ≤ 𝑊) ↔ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑇) ≤ 𝑊))
104	32, 101, 103	mpbi2and 956	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑇) ≤ 𝑊)
105	104	ad2antrr 762	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ ¬ 𝑇 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑇) ≤ 𝑊)
106	3	ad2antrr 762	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ ¬ 𝑇 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) → 𝐾 ∈ HL)
107	45	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ ¬ 𝑇 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴))
108	12, 18	jca 554	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))) → (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴))
109	108	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ ¬ 𝑇 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) → (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴))
110	49	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ ¬ 𝑇 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) → 𝑃 ≠ 𝑄)
111	51	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ ¬ 𝑇 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) → ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))
112		simpr 477	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ ¬ 𝑇 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) → ¬ 𝑇 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
113	2, 8, 9, 29	lvoli2 34867	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑇) ∈ 𝑉)
114	107, 109, 110, 111, 112, 113	syl113anc 1338	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ ¬ 𝑇 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑇) ∈ 𝑉)
115	28	ad2antrr 762	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ ¬ 𝑇 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) → 𝑊 ∈ 𝑉)
116	2, 29	lvolcmp 34903	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑇) ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) → ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑇) ≤ 𝑊 ↔ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑇) = 𝑊))
117	106, 114, 115, 116	syl3anc 1326	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ ¬ 𝑇 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) → ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑇) ≤ 𝑊 ↔ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑇) = 𝑊))
118	105, 117	mpbid 222	. . . . 5 ⊢ ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ ¬ 𝑇 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑇) = 𝑊)
119	1, 2, 8	latjlej2 17066	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑇 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))) → (𝑇 ≤ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑇) ≤ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))))
120	5, 60, 25, 16, 119	syl13anc 1328	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))) → (𝑇 ≤ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑇) ≤ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))))
121	100, 120	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑇) ≤ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈)))
122	121	ad2antrr 762	. . . . 5 ⊢ ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ ¬ 𝑇 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑇) ≤ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈)))
123	118, 122	eqbrtrrd 4677	. . . 4 ⊢ ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ ¬ 𝑇 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) → 𝑊 ≤ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈)))
124	93, 123	pm2.61dan 832	. . 3 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) → 𝑊 ≤ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈)))
125	1, 8, 9	hlatjcl 34653	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) → (𝑇 ∨ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
126	3, 18, 21, 125	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))) → (𝑇 ∨ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
127	1, 2, 8	latlej1 17060	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑇 ∨ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑆 ≤ (𝑆 ∨ (𝑇 ∨ 𝑈)))
128	5, 58, 126, 127	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))) → 𝑆 ≤ (𝑆 ∨ (𝑇 ∨ 𝑈)))
129	1, 8	latjass 17095	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑆 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑇 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑈 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) = (𝑆 ∨ (𝑇 ∨ 𝑈)))
130	5, 58, 60, 23, 129	syl13anc 1328	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))) → ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) = (𝑆 ∨ (𝑇 ∨ 𝑈)))
131	128, 130	breqtrrd 4681	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))) → 𝑆 ≤ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))
132	1, 2, 5, 58, 25, 31, 131, 33	lattrd 17058	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))) → 𝑆 ≤ 𝑊)
133	1, 2, 8	latjle12 17062	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))) → ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ 𝑆 ≤ 𝑊) ↔ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ≤ 𝑊))
134	5, 16, 58, 31, 133	syl13anc 1328	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))) → ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ 𝑆 ≤ 𝑊) ↔ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ≤ 𝑊))
135	32, 132, 134	mpbi2and 956	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ≤ 𝑊)
136	135	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ≤ 𝑊)
137	3	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) → 𝐾 ∈ HL)
138	45	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴))
139	12, 17	jca 554	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))) → (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴))
140	139	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) → (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴))
141	49	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) → 𝑃 ≠ 𝑄)
142	51	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) → ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))
143		simpr 477	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) → ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
144	2, 8, 9, 29	lvoli2 34867	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑉)
145	138, 140, 141, 142, 143, 144	syl113anc 1338	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑉)
146	28	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) → 𝑊 ∈ 𝑉)
147	2, 29	lvolcmp 34903	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) → ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ≤ 𝑊 ↔ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = 𝑊))
148	137, 145, 146, 147	syl3anc 1326	. . . . 5 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) → ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ≤ 𝑊 ↔ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = 𝑊))
149	136, 148	mpbid 222	. . . 4 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = 𝑊)
150	1, 2, 8	latjlej2 17066	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑆 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))) → (𝑆 ≤ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ≤ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))))
151	5, 58, 25, 16, 150	syl13anc 1328	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))) → (𝑆 ≤ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ≤ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))))
152	131, 151	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ≤ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈)))
153	152	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ≤ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈)))
154	149, 153	eqbrtrrd 4677	. . 3 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) → 𝑊 ≤ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈)))
155	124, 154	pm2.61dan 832	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))) → 𝑊 ≤ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈)))
156	1, 2, 5, 27, 31, 36, 155	latasymd 17057	1 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≠ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈)) = 𝑊)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 196 ∧ wa 384 ∧ w3a 1037 = wceq 1483 ∈ wcel 1990 ≠ wne 2794 class class class wbr 4653 ‘cfv 5888 (class class class)co 6650 Basecbs 15857 lecple 15948 joincjn 16944 Latclat 17045 Atomscatm 34550 HLchlt 34637 LVolsclvol 34779

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-id 5024 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-preset 16928 df-poset 16946 df-plt 16958 df-lub 16974 df-glb 16975 df-join 16976 df-meet 16977 df-p0 17039 df-lat 17046 df-clat 17108 df-oposet 34463 df-ol 34465 df-oml 34466 df-covers 34553 df-ats 34554 df-atl 34585 df-cvlat 34609 df-hlat 34638 df-llines 34784 df-lplanes 34785 df-lvols 34786

This theorem is referenced by: 2lplnj 34906

W3C validator