Theorem leid 10133

Description: 'Less than or equal to' is reflexive. (Contributed by NM, 18-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
leid	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem leid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . . 4 ⊢ 𝐴 = 𝐴
2	1	olci 406	. . 3 ⊢ (𝐴 < 𝐴 ∨ 𝐴 = 𝐴)
3		leloe 10124	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐴 ↔ (𝐴 < 𝐴 ∨ 𝐴 = 𝐴)))
4	2, 3	mpbiri 248	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ≤ 𝐴)
5	4	anidms 677	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 383   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   class class class wbr 4653  ℝcr 9935   < clt 10074   ≤ cle 10075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-pre-lttri 10010

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080

This theorem is referenced by:  eqle  10139  mulge0  10546  msqge0  10549  leidi  10562  leidd  10594  lemulge11  10885  lediv2a  10917  nn2ge  11045  max1ALT  12017  lo1const  14351  isumless  14577  retos  19964  itg2itg1  23503  itg20  23504  nmobndi  27630  breprexp  30711  relowlpssretop  33212  iuneqfzuzlem  39550  fmuldfeq  39815  volioc  40188  caratheodorylem1  40740