Theorem itg2itg1 23503

Description: The integral of a nonnegative simple function using ∫₂ is the same as its value under ∫₁. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
itg2itg1	⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘𝑟 ≤ 𝐹) → (∫2‘𝐹) = (∫1‘𝐹))

Proof of Theorem itg2itg1

Dummy variables 𝑥 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itg1le 23480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐹) → (∫1‘𝑔) ≤ (∫1‘𝐹))
2	1	3expia 1267	. . . . . 6 ⊢ ((𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐹 ∈ dom ∫1) → (𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐹 → (∫1‘𝑔) ≤ (∫1‘𝐹)))
3	2	ancoms 469	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) → (𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐹 → (∫1‘𝑔) ≤ (∫1‘𝐹)))
4	3	ralrimiva 2966	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐹 → (∫1‘𝑔) ≤ (∫1‘𝐹)))
5	4	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘𝑟 ≤ 𝐹) → ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐹 → (∫1‘𝑔) ≤ (∫1‘𝐹)))
6		i1ff 23443	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
7		xrge0f 23498	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 0𝑝 ∘𝑟 ≤ 𝐹) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
8	6, 7	sylan 488	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘𝑟 ≤ 𝐹) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
9		itg1cl 23452	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫1‘𝐹) ∈ ℝ)
10	9	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘𝑟 ≤ 𝐹) → (∫1‘𝐹) ∈ ℝ)
11	10	rexrd 10089	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘𝑟 ≤ 𝐹) → (∫1‘𝐹) ∈ ℝ*)
12		itg2leub 23501	. . . 4 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (∫1‘𝐹) ∈ ℝ*) → ((∫2‘𝐹) ≤ (∫1‘𝐹) ↔ ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐹 → (∫1‘𝑔) ≤ (∫1‘𝐹))))
13	8, 11, 12	syl2anc 693	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘𝑟 ≤ 𝐹) → ((∫2‘𝐹) ≤ (∫1‘𝐹) ↔ ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐹 → (∫1‘𝑔) ≤ (∫1‘𝐹))))
14	5, 13	mpbird 247	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘𝑟 ≤ 𝐹) → (∫2‘𝐹) ≤ (∫1‘𝐹))
15		simpl 473	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘𝑟 ≤ 𝐹) → 𝐹 ∈ dom ∫1)
16		reex 10027	. . . . . 6 ⊢ ℝ ∈ V
17	16	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → ℝ ∈ V)
18		leid 10133	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ≤ 𝑥)
19	18	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ≤ 𝑥)
20	17, 6, 19	caofref 6923	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹 ∘𝑟 ≤ 𝐹)
21	20	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘𝑟 ≤ 𝐹) → 𝐹 ∘𝑟 ≤ 𝐹)
22		itg2ub 23500	. . 3 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐹 ∘𝑟 ≤ 𝐹) → (∫1‘𝐹) ≤ (∫2‘𝐹))
23	8, 15, 21, 22	syl3anc 1326	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘𝑟 ≤ 𝐹) → (∫1‘𝐹) ≤ (∫2‘𝐹))
24		itg2cl 23499	. . . 4 ⊢ (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ*)
25	8, 24	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘𝑟 ≤ 𝐹) → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ*)
26		xrletri3 11985	. . 3 ⊢ (((∫2‘𝐹) ∈ ℝ* ∧ (∫1‘𝐹) ∈ ℝ*) → ((∫2‘𝐹) = (∫1‘𝐹) ↔ ((∫2‘𝐹) ≤ (∫1‘𝐹) ∧ (∫1‘𝐹) ≤ (∫2‘𝐹))))
27	25, 11, 26	syl2anc 693	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘𝑟 ≤ 𝐹) → ((∫2‘𝐹) = (∫1‘𝐹) ↔ ((∫2‘𝐹) ≤ (∫1‘𝐹) ∧ (∫1‘𝐹) ≤ (∫2‘𝐹))))
28	14, 23, 27	mpbir2and 957	1 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘𝑟 ≤ 𝐹) → (∫2‘𝐹) = (∫1‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ∀wral 2912  Vcvv 3200   class class class wbr 4653  dom cdm 5114  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   ∘_𝑟 cofr 6896  ℝcr 9935  0cc0 9936  +∞cpnf 10071  ℝ^*cxr 10073   ≤ cle 10075  [,]cicc 12178  ∫₁citg1 23384  ∫₂citg2 23385  0_𝑝c0p 23436

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xadd 11947  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-xmet 19739  df-met 19740  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388  df-itg1 23389  df-itg2 23390  df-0p 23437

This theorem is referenced by:  itg20  23504  itg2const  23507  itg2i1fseq  23522  i1fibl  23574  itgitg1  23575  ftc1anclem5  33489  ftc1anclem7  33491  ftc1anclem8  33492