Theorem lspprss 18992

Description: The span of a pair of vectors in a subspace belongs to the subspace. (Contributed by NM, 12-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspprss.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspprss.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspprss.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lspprss.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lspprss.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
lspprss.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
lspprss	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ 𝑈)

Proof of Theorem lspprss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspprss.w	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		lspprss.u	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
3		lspprss.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
4		lspprss.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)
5	3, 4	jca 554	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈))
6		prssg 4350	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) ↔ {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑈))
7	5, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) ↔ {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑈))
8	5, 7	mpbid 222	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑈)
9		lspprss.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
10		lspprss.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
11	9, 10	lspssp 18988	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑈) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ 𝑈)
12	1, 2, 8, 11	syl3anc 1326	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ⊆ wss 3574  {cpr 4179  ‘cfv 5888  LModclmod 18863  LSubSpclss 18932  LSpanclspn 18971

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972

This theorem is referenced by:  lsppratlem2  19148  dvh3dim2  36737  dvh3dim3N  36738  lclkrlem2n  36809