Theorem lclkrlem2n 36809

Description: Lemma for lclkr 36822. (Contributed by NM, 12-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lclkrlem2m.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
lclkrlem2m.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
lclkrlem2m.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
lclkrlem2m.q	⊢ × = (.r‘𝑆)
lclkrlem2m.z	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
lclkrlem2m.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝑆)
lclkrlem2m.m	⊢ − = (-g‘𝑈)
lclkrlem2m.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lclkrlem2m.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lclkrlem2m.p	⊢ + = (+g‘𝐷)
lclkrlem2m.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lclkrlem2m.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
lclkrlem2m.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐹)
lclkrlem2m.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
lclkrlem2n.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
lclkrlem2n.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lclkrlem2n.w	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
lclkrlem2n.j	⊢ (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) = 0 )
lclkrlem2n.k	⊢ (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) = 0 )

Assertion

Ref	Expression
lclkrlem2n	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))

Proof of Theorem lclkrlem2n

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. 2 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
2		lclkrlem2n.n	. 2 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
3		lclkrlem2n.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
4		lveclmod 19106	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ LVec → 𝑈 ∈ LMod)
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
6		lclkrlem2m.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
7		lclkrlem2m.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
8		lclkrlem2m.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐷)
9		lclkrlem2m.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐹)
10		lclkrlem2m.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
11	6, 7, 8, 5, 9, 10	ldualvaddcl 34417	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 + 𝐺) ∈ 𝐹)
12		lclkrlem2n.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
13	6, 12, 1	lkrlss 34382	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝐸 + 𝐺) ∈ 𝐹) → (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ∈ (LSubSp‘𝑈))
14	5, 11, 13	syl2anc 693	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ∈ (LSubSp‘𝑈))
15		lclkrlem2n.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) = 0 )
16		lclkrlem2m.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
17		lclkrlem2m.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
18		lclkrlem2m.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
19		lclkrlem2m.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
20	16, 17, 18, 6, 12, 3, 11, 19	ellkr2 34378	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ↔ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) = 0 ))
21	15, 20	mpbird 247	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))
22		lclkrlem2n.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) = 0 )
23		lclkrlem2m.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
24	16, 17, 18, 6, 12, 3, 11, 23	ellkr2 34378	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ↔ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) = 0 ))
25	22, 24	mpbird 247	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))
26	1, 2, 5, 14, 21, 25	lspprss 18992	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ⊆ wss 3574  {cpr 4179  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  Basecbs 15857  +_gcplusg 15941  ._rcmulr 15942  Scalarcsca 15944   ·_𝑠 cvsca 15945  0_gc0g 16100  -_gcsg 17424  inv_rcinvr 18671  LModclmod 18863  LSubSpclss 18932  LSpanclspn 18971  LVecclvec 19102  LFnlclfn 34344  LKerclk 34372  LDualcld 34410

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-plusg 15954  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-lvec 19103  df-lfl 34345  df-lkr 34373  df-ldual 34411

This theorem is referenced by:  lclkrlem2v  36817