Theorem mnfnre 10082

Description: Minus infinity is not a real number. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
mnfnre	⊢ -∞ ∉ ℝ

Proof of Theorem mnfnre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2pwuninel 8115	. . . 4 ⊢ ¬ 𝒫 𝒫 ∪ ℂ ∈ ℂ
2		df-mnf 10077	. . . . . 6 ⊢ -∞ = 𝒫 +∞
3		df-pnf 10076	. . . . . . 7 ⊢ +∞ = 𝒫 ∪ ℂ
4	3	pweqi 4162	. . . . . 6 ⊢ 𝒫 +∞ = 𝒫 𝒫 ∪ ℂ
5	2, 4	eqtri 2644	. . . . 5 ⊢ -∞ = 𝒫 𝒫 ∪ ℂ
6	5	eleq1i 2692	. . . 4 ⊢ (-∞ ∈ ℂ ↔ 𝒫 𝒫 ∪ ℂ ∈ ℂ)
7	1, 6	mtbir 313	. . 3 ⊢ ¬ -∞ ∈ ℂ
8		recn 10026	. . 3 ⊢ (-∞ ∈ ℝ → -∞ ∈ ℂ)
9	7, 8	mto 188	. 2 ⊢ ¬ -∞ ∈ ℝ
10	9	nelir 2900	1 ⊢ -∞ ∉ ℝ

Syntax hints:   ∈ wcel 1990   ∉ wnel 2897  𝒫 cpw 4158  ∪ cuni 4436  ℂcc 9934  ℝcr 9935  +∞cpnf 10071  -∞cmnf 10072

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077

This theorem is referenced by:  renemnf  10088  ltxrlt  10108  xrltnr  11953  nltmnf  11963  hashnemnf  13132  mnfnei  21025  deg1nn0clb  23850  mnfnre2  39619