Theorem xrltnr 11953

Description: The extended real 'less than' is irreflexive. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
xrltnr	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ 𝐴 < 𝐴)

Proof of Theorem xrltnr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxr 11950	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
2		ltnr 10132	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ¬ 𝐴 < 𝐴)
3		pnfnre 10081	. . . . . . . . . 10 ⊢ +∞ ∉ ℝ
4	3	neli 2899	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ +∞ ∈ ℝ
5	4	intnan 960	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ (+∞ ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ)
6	5	intnanr 961	. . . . . . 7 ⊢ ¬ ((+∞ ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ) ∧ +∞ <ℝ +∞)
7		pnfnemnf 10094	. . . . . . . . 9 ⊢ +∞ ≠ -∞
8	7	neii 2796	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ +∞ = -∞
9	8	intnanr 961	. . . . . . 7 ⊢ ¬ (+∞ = -∞ ∧ +∞ = +∞)
10	6, 9	pm3.2ni 899	. . . . . 6 ⊢ ¬ (((+∞ ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ) ∧ +∞ <ℝ +∞) ∨ (+∞ = -∞ ∧ +∞ = +∞))
11	4	intnanr 961	. . . . . . 7 ⊢ ¬ (+∞ ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞)
12	4	intnan 960	. . . . . . 7 ⊢ ¬ (+∞ = -∞ ∧ +∞ ∈ ℝ)
13	11, 12	pm3.2ni 899	. . . . . 6 ⊢ ¬ ((+∞ ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞) ∨ (+∞ = -∞ ∧ +∞ ∈ ℝ))
14	10, 13	pm3.2ni 899	. . . . 5 ⊢ ¬ ((((+∞ ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ) ∧ +∞ <ℝ +∞) ∨ (+∞ = -∞ ∧ +∞ = +∞)) ∨ ((+∞ ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞) ∨ (+∞ = -∞ ∧ +∞ ∈ ℝ)))
15		pnfxr 10092	. . . . . 6 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
16		ltxr 11949	. . . . . 6 ⊢ ((+∞ ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (+∞ < +∞ ↔ ((((+∞ ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ) ∧ +∞ <ℝ +∞) ∨ (+∞ = -∞ ∧ +∞ = +∞)) ∨ ((+∞ ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞) ∨ (+∞ = -∞ ∧ +∞ ∈ ℝ)))))
17	15, 15, 16	mp2an 708	. . . . 5 ⊢ (+∞ < +∞ ↔ ((((+∞ ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ) ∧ +∞ <ℝ +∞) ∨ (+∞ = -∞ ∧ +∞ = +∞)) ∨ ((+∞ ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞) ∨ (+∞ = -∞ ∧ +∞ ∈ ℝ))))
18	14, 17	mtbir 313	. . . 4 ⊢ ¬ +∞ < +∞
19		breq12 4658	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 < 𝐴 ↔ +∞ < +∞))
20	19	anidms 677	. . . 4 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 < 𝐴 ↔ +∞ < +∞))
21	18, 20	mtbiri 317	. . 3 ⊢ (𝐴 = +∞ → ¬ 𝐴 < 𝐴)
22		mnfnre 10082	. . . . . . . . . 10 ⊢ -∞ ∉ ℝ
23	22	neli 2899	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ -∞ ∈ ℝ
24	23	intnan 960	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ (-∞ ∈ ℝ ∧ -∞ ∈ ℝ)
25	24	intnanr 961	. . . . . . 7 ⊢ ¬ ((-∞ ∈ ℝ ∧ -∞ ∈ ℝ) ∧ -∞ <ℝ -∞)
26	7	nesymi 2851	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ -∞ = +∞
27	26	intnan 960	. . . . . . 7 ⊢ ¬ (-∞ = -∞ ∧ -∞ = +∞)
28	25, 27	pm3.2ni 899	. . . . . 6 ⊢ ¬ (((-∞ ∈ ℝ ∧ -∞ ∈ ℝ) ∧ -∞ <ℝ -∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ -∞ = +∞))
29	23	intnanr 961	. . . . . . 7 ⊢ ¬ (-∞ ∈ ℝ ∧ -∞ = +∞)
30	23	intnan 960	. . . . . . 7 ⊢ ¬ (-∞ = -∞ ∧ -∞ ∈ ℝ)
31	29, 30	pm3.2ni 899	. . . . . 6 ⊢ ¬ ((-∞ ∈ ℝ ∧ -∞ = +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ -∞ ∈ ℝ))
32	28, 31	pm3.2ni 899	. . . . 5 ⊢ ¬ ((((-∞ ∈ ℝ ∧ -∞ ∈ ℝ) ∧ -∞ <ℝ -∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ -∞ = +∞)) ∨ ((-∞ ∈ ℝ ∧ -∞ = +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ -∞ ∈ ℝ)))
33		mnfxr 10096	. . . . . 6 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
34		ltxr 11949	. . . . . 6 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*) → (-∞ < -∞ ↔ ((((-∞ ∈ ℝ ∧ -∞ ∈ ℝ) ∧ -∞ <ℝ -∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ -∞ = +∞)) ∨ ((-∞ ∈ ℝ ∧ -∞ = +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ -∞ ∈ ℝ)))))
35	33, 33, 34	mp2an 708	. . . . 5 ⊢ (-∞ < -∞ ↔ ((((-∞ ∈ ℝ ∧ -∞ ∈ ℝ) ∧ -∞ <ℝ -∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ -∞ = +∞)) ∨ ((-∞ ∈ ℝ ∧ -∞ = +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ -∞ ∈ ℝ))))
36	32, 35	mtbir 313	. . . 4 ⊢ ¬ -∞ < -∞
37		breq12 4658	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐴 < 𝐴 ↔ -∞ < -∞))
38	37	anidms 677	. . . 4 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴 < 𝐴 ↔ -∞ < -∞))
39	36, 38	mtbiri 317	. . 3 ⊢ (𝐴 = -∞ → ¬ 𝐴 < 𝐴)
40	2, 21, 39	3jaoi 1391	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) → ¬ 𝐴 < 𝐴)
41	1, 40	sylbi 207	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ 𝐴 < 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 383   ∧ wa 384   ∨ w3o 1036   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   class class class wbr 4653  ℝcr 9935   <_ℝ cltrr 9940  +∞cpnf 10071  -∞cmnf 10072  ℝ^*cxr 10073   < clt 10074

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079

This theorem is referenced by:  xrltnsym  11970  xrlttri  11972  nltpnft  11995  ngtmnft  11997  xrsupsslem  12137  xrinfmsslem  12138  xrub  12142  lbioo  12206  ubioo  12207  topnfbey  27325  lbioc  39739  icoub  39752  iccpartnel  41374