Theorem neindisj 20921

Description: Any neighborhood of an element in the closure of a subset intersects the subset. Part of proof of Theorem 6.6 of [Munkres] p. 97. (Contributed by NM, 26-Feb-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
neips.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
neindisj	⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}))) → (𝑁 ∩ 𝑆) ≠ ∅)

Proof of Theorem neindisj

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neips.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2	1	clsss3 20863	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝑋)
3	2	sseld 3602	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) → 𝑃 ∈ 𝑋))
4	3	impr 649	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))) → 𝑃 ∈ 𝑋)
5	1	isneip 20909	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ↔ (𝑁 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁))))
6	4, 5	syldan 487	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ↔ (𝑁 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁))))
7		3anass 1042	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))))
8	1	clsndisj 20879	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) ∧ (𝑔 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑔)) → (𝑔 ∩ 𝑆) ≠ ∅)
9	7, 8	sylanbr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))) ∧ (𝑔 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑔)) → (𝑔 ∩ 𝑆) ≠ ∅)
10	9	anassrs 680	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))) ∧ 𝑔 ∈ 𝐽) ∧ 𝑃 ∈ 𝑔) → (𝑔 ∩ 𝑆) ≠ ∅)
11	10	adantllr 755	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))) ∧ 𝑁 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑔 ∈ 𝐽) ∧ 𝑃 ∈ 𝑔) → (𝑔 ∩ 𝑆) ≠ ∅)
12	11	adantrr 753	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))) ∧ 𝑁 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑔 ∈ 𝐽) ∧ (𝑃 ∈ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁)) → (𝑔 ∩ 𝑆) ≠ ∅)
13		ssdisj 4026	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑔 ⊆ 𝑁 ∧ (𝑁 ∩ 𝑆) = ∅) → (𝑔 ∩ 𝑆) = ∅)
14	13	ex 450	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 ⊆ 𝑁 → ((𝑁 ∩ 𝑆) = ∅ → (𝑔 ∩ 𝑆) = ∅))
15	14	necon3d 2815	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 ⊆ 𝑁 → ((𝑔 ∩ 𝑆) ≠ ∅ → (𝑁 ∩ 𝑆) ≠ ∅))
16	15	ad2antll 765	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))) ∧ 𝑁 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑔 ∈ 𝐽) ∧ (𝑃 ∈ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁)) → ((𝑔 ∩ 𝑆) ≠ ∅ → (𝑁 ∩ 𝑆) ≠ ∅))
17	12, 16	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))) ∧ 𝑁 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑔 ∈ 𝐽) ∧ (𝑃 ∈ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁)) → (𝑁 ∩ 𝑆) ≠ ∅)
18	17	ex 450	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))) ∧ 𝑁 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑔 ∈ 𝐽) → ((𝑃 ∈ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁) → (𝑁 ∩ 𝑆) ≠ ∅))
19	18	rexlimdva 3031	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))) ∧ 𝑁 ⊆ 𝑋) → (∃𝑔 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁) → (𝑁 ∩ 𝑆) ≠ ∅))
20	19	expimpd 629	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))) → ((𝑁 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁)) → (𝑁 ∩ 𝑆) ≠ ∅))
21	6, 20	sylbid 230	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) → (𝑁 ∩ 𝑆) ≠ ∅))
22	21	exp32 631	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑆 ⊆ 𝑋 → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) → (𝑁 ∩ 𝑆) ≠ ∅))))
23	22	imp43 621	1 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}))) → (𝑁 ∩ 𝑆) ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∃wrex 2913   ∩ cin 3573   ⊆ wss 3574  ∅c0 3915  {csn 4177  ∪ cuni 4436  ‘cfv 5888  Topctop 20698  clsccl 20822  neicnei 20901

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-top 20699  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902

This theorem is referenced by:  clslp  20952  flimclslem  21788  utop3cls  22055