Theorem nfimdetndef 20395

Description: The determinant is not defined for an infinite matrix. (Contributed by AV, 27-Dec-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
nfimdetndef.d	⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
nfimdetndef	⊢ (𝑁 ∉ Fin → 𝐷 = ∅)

Proof of Theorem nfimdetndef

Dummy variables 𝑚 𝑝 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfimdetndef.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
2		eqid 2622	. . 3 ⊢ (𝑁 Mat 𝑅) = (𝑁 Mat 𝑅)
3		eqid 2622	. . 3 ⊢ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) = (Base‘(𝑁 Mat 𝑅))
4		eqid 2622	. . 3 ⊢ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
5		eqid 2622	. . 3 ⊢ (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
6		eqid 2622	. . 3 ⊢ (pmSgn‘𝑁) = (pmSgn‘𝑁)
7		eqid 2622	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
8		eqid 2622	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	mdetfval 20392	. 2 ⊢ 𝐷 = (𝑚 ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥)))))))
10		df-nel 2898	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∉ Fin ↔ ¬ 𝑁 ∈ Fin)
11	10	biimpi 206	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∉ Fin → ¬ 𝑁 ∈ Fin)
12	11	intnanrd 963	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∉ Fin → ¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
13		matbas0 20216	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) = ∅)
14	12, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∉ Fin → (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) = ∅)
15	14	mpteq1d 4738	. . 3 ⊢ (𝑁 ∉ Fin → (𝑚 ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥))))))) = (𝑚 ∈ ∅ ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥))))))))
16		mpt0 6021	. . 3 ⊢ (𝑚 ∈ ∅ ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥))))))) = ∅
17	15, 16	syl6eq 2672	. 2 ⊢ (𝑁 ∉ Fin → (𝑚 ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥))))))) = ∅)
18	9, 17	syl5eq 2668	1 ⊢ (𝑁 ∉ Fin → 𝐷 = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ∉ wnel 2897  Vcvv 3200  ∅c0 3915   ↦ cmpt 4729   ∘ ccom 5118  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  Fincfn 7955  Basecbs 15857  ._rcmulr 15942   Σ_g cgsu 16101  SymGrpcsymg 17797  pmSgncpsgn 17909  mulGrpcmgp 18489  ℤRHomczrh 19848   Mat cmat 20213   maDet cmdat 20390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-slot 15861  df-base 15863  df-mat 20214  df-mdet 20391

This theorem is referenced by:  mdetfval1  20396