Theorem mpt0 6021

Description: A mapping operation with empty domain. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mpt0	⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) = ∅

Proof of Theorem mpt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ral0 4076	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ ∅ 𝐴 ∈ V
2		eqid 2622	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴)
3	2	fnmpt 6020	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ∅ 𝐴 ∈ V → (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) Fn ∅)
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) Fn ∅
5		fn0 6011	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) Fn ∅ ↔ (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) = ∅)
6	4, 5	mpbi 220	1 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) = ∅

Syntax hints:   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ∀wral 2912  Vcvv 3200  ∅c0 3915   ↦ cmpt 4729   Fn wfn 5883

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-fun 5890  df-fn 5891

This theorem is referenced by:  oarec  7642  swrd00  13418  swrdlend  13431  repswswrd  13531  0rest  16090  grpinvfval  17460  psgnfval  17920  odfval  17952  gsumconst  18334  gsum2dlem2  18370  dprd0  18430  staffval  18847  asclfval  19334  mplcoe1  19465  mplcoe5  19468  coe1fzgsumd  19672  evl1gsumd  19721  gsumfsum  19813  pjfval  20050  mavmul0  20358  submafval  20385  mdetfval  20392  nfimdetndef  20395  mdetfval1  20396  mdet0pr  20398  madufval  20443  madugsum  20449  minmar1fval  20452  cramer0  20496  nmfval  22393  mdegfval  23822  gsumvsca1  29782  gsumvsca2  29783  esumnul  30110  esumrnmpt2  30130  sitg0  30408  mrsubfval  31405  msubfval  31421  elmsubrn  31425  mvhfval  31430  msrfval  31434  matunitlindflem1  33405  matunitlindf  33407  poimirlem28  33437  liminf0  40025  cncfiooicc  40107  itgvol0  40184  stoweidlem9  40226  sge0iunmptlemfi  40630  sge0isum  40644  lincval0  42204