Theorem plelttr 16972

Description: Transitive law for chained less-than-or-equal and less-than. (sspsstr 3712 analog.) (Contributed by NM, 2-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
pltletr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
pltletr.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
pltletr.s	⊢ < = (lt‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
plelttr	⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 < 𝑍) → 𝑋 < 𝑍))

Proof of Theorem plelttr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pltletr.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		pltletr.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		pltletr.s	. . . . 5 ⊢ < = (lt‘𝐾)
4	1, 2, 3	pleval2 16965	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ (𝑋 < 𝑌 ∨ 𝑋 = 𝑌)))
5	4	3adant3r3 1276	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ (𝑋 < 𝑌 ∨ 𝑋 = 𝑌)))
6	1, 3	plttr 16970	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌 < 𝑍) → 𝑋 < 𝑍))
7	6	expd 452	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 < 𝑌 → (𝑌 < 𝑍 → 𝑋 < 𝑍)))
8		breq1 4656	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = 𝑌 → (𝑋 < 𝑍 ↔ 𝑌 < 𝑍))
9	8	biimprd 238	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = 𝑌 → (𝑌 < 𝑍 → 𝑋 < 𝑍))
10	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 = 𝑌 → (𝑌 < 𝑍 → 𝑋 < 𝑍)))
11	7, 10	jaod 395	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 < 𝑌 ∨ 𝑋 = 𝑌) → (𝑌 < 𝑍 → 𝑋 < 𝑍)))
12	5, 11	sylbid 230	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ≤ 𝑌 → (𝑌 < 𝑍 → 𝑋 < 𝑍)))
13	12	impd 447	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 < 𝑍) → 𝑋 < 𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 383   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   class class class wbr 4653  ‘cfv 5888  Basecbs 15857  lecple 15948  Posetcpo 16940  ltcplt 16941

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-preset 16928  df-poset 16946  df-plt 16958

This theorem is referenced by:  isarchi3  29741  archiabllem2c  29749  athgt  34742  1cvratex  34759