Theorem renepnf 10087

Description: No (finite) real equals plus infinity. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
renepnf	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ +∞)

Proof of Theorem renepnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfnre 10081	. . . 4 ⊢ +∞ ∉ ℝ
2	1	neli 2899	. . 3 ⊢ ¬ +∞ ∈ ℝ
3		eleq1 2689	. . 3 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ +∞ ∈ ℝ))
4	2, 3	mtbiri 317	. 2 ⊢ (𝐴 = +∞ → ¬ 𝐴 ∈ ℝ)
5	4	necon2ai 2823	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ +∞)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ℝcr 9935  +∞cpnf 10071

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-uni 4437  df-pnf 10076

This theorem is referenced by:  renepnfd  10090  renfdisj  10098  xrnepnf  11952  rexneg  12042  rexadd  12063  xaddnepnf  12068  xaddcom  12071  xaddid1  12072  xnn0xadd0  12077  xnegdi  12078  xpncan  12081  xleadd1a  12083  rexmul  12101  xmulpnf1  12104  xadddilem  12124  rpsup  12665  hashneq0  13155  hash1snb  13207  xrsnsgrp  19782  xaddeq0  29518  icorempt2  33199  ovoliunnfl  33451  voliunnfl  33453  volsupnfl  33454  supxrgelem  39553  supxrge  39554  infleinflem1  39586  infleinflem2  39587  xrre4  39638  supminfxr2  39699  climxrre  39982  sge0repnf  40603  voliunsge0lem  40689