Theorem xleadd1a 12083

Description: Extended real version of leadd1 10496; note that the converse implication is not true, unlike the real version (for example 0 < 1 but (1 +_𝑒 +∞) ≤ (0 +_𝑒 +∞)). (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xleadd1a	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶))

Proof of Theorem xleadd1a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplrr 801	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
2		simpr 477	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
3		simplrl 800	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
4		simpllr 799	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ≤ 𝐵)
5	1, 2, 3, 4	leadd1dd 10641	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝐵 + 𝐶))
6		rexadd 12063	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐶) = (𝐴 + 𝐶))
7	1, 3, 6	syl2anc 693	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐶) = (𝐴 + 𝐶))
8		rexadd 12063	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = (𝐵 + 𝐶))
9	2, 3, 8	syl2anc 693	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = (𝐵 + 𝐶))
10	5, 7, 9	3brtr4d 4685	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶))
11		simpl1 1064	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
12		simpl3 1066	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ*)
13		xaddcl 12070	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
14	11, 12, 13	syl2anc 693	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
15	14	ad2antrr 762	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
16		pnfge 11964	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ* → (𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ +∞)
17	15, 16	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ +∞)
18		oveq1 6657	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = +∞ → (𝐵 +𝑒 𝐶) = (+∞ +𝑒 𝐶))
19		rexr 10085	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℝ*)
20		renemnf 10088	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ≠ -∞)
21		xaddpnf2 12058	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 𝐶) = +∞)
22	19, 20, 21	syl2anc 693	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → (+∞ +𝑒 𝐶) = +∞)
23	22	ad2antrl 764	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)) → (+∞ +𝑒 𝐶) = +∞)
24	18, 23	sylan9eqr 2678	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = +∞)
25	17, 24	breqtrrd 4681	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶))
26	14	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
27		xrleid 11983	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ* → (𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ (𝐴 +𝑒 𝐶))
28	26, 27	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ (𝐴 +𝑒 𝐶))
29		simplr 792	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐴 ≤ 𝐵)
30		simpr 477	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐵 = -∞)
31	11	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
32		mnfle 11969	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝐴)
33	31, 32	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 = -∞) → -∞ ≤ 𝐴)
34	30, 33	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐵 ≤ 𝐴)
35		simpl2 1065	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
36		xrletri3 11985	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))
37	11, 35, 36	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))
38	37	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))
39	29, 34, 38	mpbir2and 957	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐴 = 𝐵)
40	39	oveq1d 6665	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐶) = (𝐵 +𝑒 𝐶))
41	28, 40	breqtrd 4679	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶))
42	41	adantlr 751	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶))
43		elxr 11950	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
44	35, 43	sylib 208	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
45	44	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
46	10, 25, 42, 45	mpjao3dan 1395	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶))
47	46	anassrs 680	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶))
48	14	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
49	48, 27	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ (𝐴 +𝑒 𝐶))
50		simplr 792	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐴 ≤ 𝐵)
51		pnfge 11964	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → 𝐵 ≤ +∞)
52	35, 51	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 ≤ +∞)
53	52	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐵 ≤ +∞)
54		simpr 477	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐴 = +∞)
55	53, 54	breqtrrd 4681	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐵 ≤ 𝐴)
56	37	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))
57	50, 55, 56	mpbir2and 957	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐴 = 𝐵)
58	57	oveq1d 6665	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐶) = (𝐵 +𝑒 𝐶))
59	49, 58	breqtrd 4679	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶))
60	59	adantlr 751	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶))
61		oveq1 6657	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴 +𝑒 𝐶) = (-∞ +𝑒 𝐶))
62		renepnf 10087	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ≠ +∞)
63		xaddmnf2 12060	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ +∞) → (-∞ +𝑒 𝐶) = -∞)
64	19, 62, 63	syl2anc 693	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → (-∞ +𝑒 𝐶) = -∞)
65	64	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (-∞ +𝑒 𝐶) = -∞)
66	61, 65	sylan9eqr 2678	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐶) = -∞)
67		xaddcl 12070	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
68	35, 12, 67	syl2anc 693	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
69	68	ad2antrr 762	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
70		mnfle 11969	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ* → -∞ ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶))
71	69, 70	syl 17	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → -∞ ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶))
72	66, 71	eqbrtrd 4675	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶))
73		elxr 11950	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
74	11, 73	sylib 208	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
75	74	adantr 481	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
76	47, 60, 72, 75	mpjao3dan 1395	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶))
77	41	adantlr 751	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶))
78	14	ad2antrr 762	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 𝐵 ≠ -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
79	78, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 𝐵 ≠ -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ +∞)
80		simplr 792	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 𝐵 ≠ -∞) → 𝐶 = +∞)
81	80	oveq2d 6666	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 𝐵 ≠ -∞) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = (𝐵 +𝑒 +∞))
82	35	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 = +∞) → 𝐵 ∈ ℝ*)
83		xaddpnf1 12057	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) → (𝐵 +𝑒 +∞) = +∞)
84	82, 83	sylan 488	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 𝐵 ≠ -∞) → (𝐵 +𝑒 +∞) = +∞)
85	81, 84	eqtrd 2656	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 𝐵 ≠ -∞) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = +∞)
86	79, 85	breqtrrd 4681	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 𝐵 ≠ -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶))
87	77, 86	pm2.61dane 2881	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶))
88	59	adantlr 751	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 = -∞) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶))
89		simplr 792	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 = -∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → 𝐶 = -∞)
90	89	oveq2d 6666	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 = -∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐶) = (𝐴 +𝑒 -∞))
91	11	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 = -∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
92		xaddmnf1 12059	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) → (𝐴 +𝑒 -∞) = -∞)
93	91, 92	sylan 488	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 = -∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → (𝐴 +𝑒 -∞) = -∞)
94	90, 93	eqtrd 2656	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 = -∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐶) = -∞)
95	68	ad2antrr 762	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 = -∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → (𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
96	95, 70	syl 17	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 = -∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → -∞ ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶))
97	94, 96	eqbrtrd 4675	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 = -∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶))
98	88, 97	pm2.61dane 2881	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 = -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶))
99		elxr 11950	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ* ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∨ 𝐶 = +∞ ∨ 𝐶 = -∞))
100	12, 99	sylib 208	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐶 ∈ ℝ ∨ 𝐶 = +∞ ∨ 𝐶 = -∞))
101	76, 87, 98, 100	mpjao3dan 1395	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∨ w3o 1036   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650  ℝcr 9935   + caddc 9939  +∞cpnf 10071  -∞cmnf 10072  ℝ^*cxr 10073   ≤ cle 10075   +_𝑒 cxad 11944

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-xadd 11947

This theorem is referenced by:  xleadd2a  12084  xleadd1  12085  xaddge0  12088  xle2add  12089  imasdsf1olem  22178  xblss2ps  22206  xblss2  22207  stdbdxmet  22320  xrge0omnd  29711  measunl  30279  carsgclctunlem2  30381  xleadd1d  39545