Theorem xrsnsgrp 19782

Description: The (additive group of the) extended reals is not a semigroup. (Contributed by AV, 30-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
xrsnsgrp	⊢ ℝ*𝑠 ∉ SGrp

Proof of Theorem xrsnsgrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 10039	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
2	1	rexri 10097	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ*
3		mnfxr 10096	. . 3 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
4		pnfxr 10092	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
5	2, 3, 4	3pm3.2i 1239	. 2 ⊢ (1 ∈ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*)
6		xaddcom 12071	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*) → (1 +𝑒 -∞) = (-∞ +𝑒 1))
7	2, 3, 6	mp2an 708	. . . . . . 7 ⊢ (1 +𝑒 -∞) = (-∞ +𝑒 1)
8		renepnf 10087	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ∈ ℝ → 1 ≠ +∞)
9	1, 8	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ≠ +∞
10		xaddmnf2 12060	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℝ* ∧ 1 ≠ +∞) → (-∞ +𝑒 1) = -∞)
11	2, 9, 10	mp2an 708	. . . . . . 7 ⊢ (-∞ +𝑒 1) = -∞
12	7, 11	eqtri 2644	. . . . . 6 ⊢ (1 +𝑒 -∞) = -∞
13	12	oveq1i 6660	. . . . 5 ⊢ ((1 +𝑒 -∞) +𝑒 +∞) = (-∞ +𝑒 +∞)
14		mnfaddpnf 12062	. . . . 5 ⊢ (-∞ +𝑒 +∞) = 0
15	13, 14	eqtri 2644	. . . 4 ⊢ ((1 +𝑒 -∞) +𝑒 +∞) = 0
16		0ne1 11088	. . . 4 ⊢ 0 ≠ 1
17	15, 16	eqnetri 2864	. . 3 ⊢ ((1 +𝑒 -∞) +𝑒 +∞) ≠ 1
18	14	oveq2i 6661	. . . 4 ⊢ (1 +𝑒 (-∞ +𝑒 +∞)) = (1 +𝑒 0)
19		xaddid1 12072	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℝ* → (1 +𝑒 0) = 1)
20	2, 19	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (1 +𝑒 0) = 1
21	18, 20	eqtri 2644	. . 3 ⊢ (1 +𝑒 (-∞ +𝑒 +∞)) = 1
22	17, 21	neeqtrri 2867	. 2 ⊢ ((1 +𝑒 -∞) +𝑒 +∞) ≠ (1 +𝑒 (-∞ +𝑒 +∞))
23		xrsbas 19762	. . 3 ⊢ ℝ* = (Base‘ℝ*𝑠)
24		xrsadd 19763	. . 3 ⊢ +𝑒 = (+g‘ℝ*𝑠)
25	23, 24	isnsgrp 17288	. 2 ⊢ ((1 ∈ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (((1 +𝑒 -∞) +𝑒 +∞) ≠ (1 +𝑒 (-∞ +𝑒 +∞)) → ℝ*𝑠 ∉ SGrp))
26	5, 22, 25	mp2 9	1 ⊢ ℝ*𝑠 ∉ SGrp

Syntax hints:   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794   ∉ wnel 2897  (class class class)co 6650  ℝcr 9935  0cc0 9936  1c1 9937  +∞cpnf 10071  -∞cmnf 10072  ℝ^*cxr 10073   +_𝑒 cxad 11944  ℝ^*_𝑠cxrs 16160  SGrpcsgrp 17283

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-xadd 11947  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-xrs 16162  df-sgrp 17284

This theorem is referenced by:  xrsmgmdifsgrp  19783