Theorem setsval 15888

Description: Value of the structure replacement function. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
setsval	⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}))

Proof of Theorem setsval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opex 4932	. . 3 ⊢ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ V
2		setsvalg 15887	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ V) → (𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ((𝑆 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩})) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}))
3	1, 2	mpan2 707	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → (𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ((𝑆 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩})) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}))
4		dmsnopg 5606	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → dom {⟨𝐴, 𝐵⟩} = {𝐴})
5	4	difeq2d 3728	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩}) = (V ∖ {𝐴}))
6	5	reseq2d 5396	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → (𝑆 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩})) = (𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})))
7	6	uneq1d 3766	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → ((𝑆 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩})) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}))
8	3, 7	sylan9eq 2676	1 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  Vcvv 3200   ∖ cdif 3571   ∪ cun 3572  {csn 4177  ⟨cop 4183  dom cdm 5114   ↾ cres 5116  (class class class)co 6650   sSet csts 15855

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-res 5126  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-sets 15864

This theorem is referenced by:  setsidvald  15889  fvsetsid  15890  fsets  15891  setsabs  15902  setscom  15903  setsid  15914  estrres  16779  setsidel  41346  setsnidel  41347  setsv  41348