Theorem tglnpt2 25536

Description: Find a second point on a line. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tglnpt2.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglnpt2.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglnpt2.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglnpt2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tglnpt2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
tglnpt2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
tglnpt2	⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑋 ≠ 𝑦)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝑃(𝑦)   𝐺(𝑦)   𝐼(𝑦)   𝐿(𝑦)

Proof of Theorem tglnpt2

Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tglnpt2.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		tglnpt2.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		tglnpt2.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4		tglnpt2.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	ad4antr 768	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑧)) ∧ 𝑋 = 𝑥) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		simp-4r 807	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑧)) ∧ 𝑋 = 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝑃)
7		simpllr 799	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑧)) ∧ 𝑋 = 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑃)
8		simplrr 801	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑧)) ∧ 𝑋 = 𝑥) → 𝑥 ≠ 𝑧)
9	1, 2, 3, 5, 6, 7, 8	tglinerflx2 25529	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑧)) ∧ 𝑋 = 𝑥) → 𝑧 ∈ (𝑥𝐿𝑧))
10		simplrl 800	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑧)) ∧ 𝑋 = 𝑥) → 𝐴 = (𝑥𝐿𝑧))
11	9, 10	eleqtrrd 2704	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑧)) ∧ 𝑋 = 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝐴)
12		simpr 477	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑧)) ∧ 𝑋 = 𝑥) → 𝑋 = 𝑥)
13	12, 8	eqnetrd 2861	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑧)) ∧ 𝑋 = 𝑥) → 𝑋 ≠ 𝑧)
14		neeq2 2857	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑋 ≠ 𝑦 ↔ 𝑋 ≠ 𝑧))
15	14	rspcev 3309	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑋 ≠ 𝑦)
16	11, 13, 15	syl2anc 693	. . 3 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑧)) ∧ 𝑋 = 𝑥) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑋 ≠ 𝑦)
17	4	ad4antr 768	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑥) → 𝐺 ∈ TarskiG)
18		simp-4r 807	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝑃)
19		simpllr 799	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑃)
20		simplrr 801	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑥) → 𝑥 ≠ 𝑧)
21	1, 2, 3, 17, 18, 19, 20	tglinerflx1 25528	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑥) → 𝑥 ∈ (𝑥𝐿𝑧))
22		simplrl 800	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑥) → 𝐴 = (𝑥𝐿𝑧))
23	21, 22	eleqtrrd 2704	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐴)
24		simpr 477	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑥) → 𝑋 ≠ 𝑥)
25		neeq2 2857	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑋 ≠ 𝑦 ↔ 𝑋 ≠ 𝑥))
26	25	rspcev 3309	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑥) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑋 ≠ 𝑦)
27	23, 24, 26	syl2anc 693	. . 3 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑥) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑋 ≠ 𝑦)
28	16, 27	pm2.61dane 2881	. 2 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑧)) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑋 ≠ 𝑦)
29		tglnpt2.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
30	1, 2, 3, 4, 29	tgisline 25522	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝐴 = (𝑥𝐿𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑧))
31	28, 30	r19.29vva 3081	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑋 ≠ 𝑦)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∃wrex 2913  ran crn 5115  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  Basecbs 15857  TarskiGcstrkg 25329  Itvcitv 25335  LineGclng 25336

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-trkgc 25347  df-trkgb 25348  df-trkgcb 25349  df-trkg 25352

This theorem is referenced by:  perpneq  25609  perpdrag  25620  oppperpex  25645  lnperpex  25695