Theorem oppperpex 25645

Description: Restating colperpex 25625 using the "opposite side of a line" relation. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hpg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
hpg.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
hpg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
hpg.o	⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
opphl.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
opphl.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
opphl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
opphl.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
oppperpex.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
oppperpex.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
oppperpex.3	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ 𝐷)
oppperpex.4	⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)

Assertion

Ref	Expression
oppperpex	⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝐶𝑂𝑝))

Distinct variable groups:   𝐷,𝑎,𝑏   𝐼,𝑎,𝑏   𝑃,𝑎,𝑏   𝐴,𝑝,𝑡   𝐷,𝑝,𝑡   𝐶,𝑝,𝑡   𝐺,𝑝,𝑡   𝑡,𝐿   𝐼,𝑝,𝑡   𝐾,𝑝,𝑡   𝑡,𝑂   𝑃,𝑝,𝑡   𝜑,𝑝,𝑡   − ,𝑝,𝑡   𝑡,𝑎,𝑏   𝐿,𝑝

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏)   𝐴(𝑎,𝑏)   𝐶(𝑎,𝑏)   𝐺(𝑎,𝑏)   𝐾(𝑎,𝑏)   𝐿(𝑎,𝑏)   − (𝑎,𝑏)   𝑂(𝑝,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem oppperpex

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprrl 804	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))) → (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥))
2		hpg.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
3		hpg.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		opphl.l	. . . . . . 7 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5		opphl.g	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
6	5	ad2antrr 762	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		opphl.d	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
8	7	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
9		oppperpex.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
10	9	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) → 𝐴 ∈ 𝐷)
11	2, 4, 3, 6, 8, 10	tglnpt 25444	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) → 𝐴 ∈ 𝑃)
12		simplr 792	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐷)
13	2, 4, 3, 6, 8, 12	tglnpt 25444	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝑃)
14		simpr 477	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) → 𝐴 ≠ 𝑥)
15	2, 3, 4, 6, 11, 13, 14, 14, 8, 10, 12	tglinethru 25531	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) → 𝐷 = (𝐴𝐿𝑥))
16	15	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))) → 𝐷 = (𝐴𝐿𝑥))
17	1, 16	breqtrrd 4681	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))) → (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷)
18		oppperpex.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ 𝐷)
19	18	ad3antrrr 766	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))) → ¬ 𝐶 ∈ 𝐷)
20		hpg.d	. . . . . . 7 ⊢ − = (dist‘𝐺)
21	6	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
22	8	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
23	10	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))) → 𝐴 ∈ 𝐷)
24		simprl 794	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))) → 𝑝 ∈ 𝑃)
25	2, 20, 3, 4, 21, 22, 23, 24, 17	footne 25615	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))) → ¬ 𝑝 ∈ 𝐷)
26	14	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))) → 𝐴 ≠ 𝑥)
27	26	neneqd 2799	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))) → ¬ 𝐴 = 𝑥)
28		simprrl 804	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))) → (𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥))
29	28	orcomd 403	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))) → (𝐴 = 𝑥 ∨ 𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥)))
30	29	ord 392	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))) → (¬ 𝐴 = 𝑥 → 𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥)))
31	27, 30	mpd 15	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))) → 𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥))
32	15	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))) → 𝐷 = (𝐴𝐿𝑥))
33	31, 32	eleqtrrd 2704	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))) → 𝑡 ∈ 𝐷)
34		simprrr 805	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))) → 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))
35	33, 34	jca 554	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))) → (𝑡 ∈ 𝐷 ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))
36	35	ex 450	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) → ((𝑡 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))) → (𝑡 ∈ 𝐷 ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))
37	36	reximdv2 3014	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) → (∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)) → ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))
38	37	imp 445	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))) → ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))
39	38	anasss 679	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))) → ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))
40	39	anasss 679	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))) → ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))
41	19, 25, 40	jca31 557	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))) → ((¬ 𝐶 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝑝 ∈ 𝐷) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))
42		hpg.o	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
43		oppperpex.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
44	43	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) → 𝐶 ∈ 𝑃)
45	44	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
46		simplr 792	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) → 𝑝 ∈ 𝑃)
47	2, 20, 3, 42, 45, 46	islnopp 25631	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) → (𝐶𝑂𝑝 ↔ ((¬ 𝐶 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝑝 ∈ 𝐷) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))
48	47	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))) → (𝐶𝑂𝑝 ↔ ((¬ 𝐶 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝑝 ∈ 𝐷) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))
49	48	anasss 679	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))) → (𝐶𝑂𝑝 ↔ ((¬ 𝐶 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝑝 ∈ 𝐷) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))
50	49	anasss 679	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))) → (𝐶𝑂𝑝 ↔ ((¬ 𝐶 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝑝 ∈ 𝐷) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))
51	41, 50	mpbird 247	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))) → 𝐶𝑂𝑝)
52	17, 51	jca 554	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))) → ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝐶𝑂𝑝))
53		oppperpex.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)
54	53	ad2antrr 762	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) → 𝐺DimTarskiG≥2)
55	2, 20, 3, 4, 6, 11, 13, 44, 14, 54	colperpex 25625	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))
56	52, 55	reximddv 3018	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝐶𝑂𝑝))
57	2, 3, 4, 5, 7, 9	tglnpt2 25536	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐷 𝐴 ≠ 𝑥)
58	56, 57	r19.29a 3078	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝐶𝑂𝑝))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 383   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∃wrex 2913   ∖ cdif 3571   class class class wbr 4653  {copab 4712  ran crn 5115  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  2c2 11070  Basecbs 15857  distcds 15950  TarskiGcstrkg 25329  Dim_TarskiG≥cstrkgld 25333  Itvcitv 25335  LineGclng 25336  hlGchlg 25495  ⟂Gcperpg 25590

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299  df-concat 13301  df-s1 13302  df-s2 13593  df-s3 13594  df-trkgc 25347  df-trkgb 25348  df-trkgcb 25349  df-trkgld 25351  df-trkg 25352  df-cgrg 25406  df-leg 25478  df-mir 25548  df-rag 25589  df-perpg 25591

This theorem is referenced by:  lnperpex  25695