Theorem uhgr0 25968

Description: The null graph represented by an empty set is a hypergraph. (Contributed by AV, 9-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
uhgr0	⊢ ∅ ∈ UHGraph

Proof of Theorem uhgr0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f0 6086	. . 3 ⊢ ∅:∅⟶∅
2		dm0 5339	. . . 4 ⊢ dom ∅ = ∅
3		pw0 4343	. . . . . 6 ⊢ 𝒫 ∅ = {∅}
4	3	difeq1i 3724	. . . . 5 ⊢ (𝒫 ∅ ∖ {∅}) = ({∅} ∖ {∅})
5		difid 3948	. . . . 5 ⊢ ({∅} ∖ {∅}) = ∅
6	4, 5	eqtri 2644	. . . 4 ⊢ (𝒫 ∅ ∖ {∅}) = ∅
7	2, 6	feq23i 6039	. . 3 ⊢ (∅:dom ∅⟶(𝒫 ∅ ∖ {∅}) ↔ ∅:∅⟶∅)
8	1, 7	mpbir 221	. 2 ⊢ ∅:dom ∅⟶(𝒫 ∅ ∖ {∅})
9		0ex 4790	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
10		vtxval0 25931	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘∅) = ∅
11	10	eqcomi 2631	. . . 4 ⊢ ∅ = (Vtx‘∅)
12		iedgval0 25932	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘∅) = ∅
13	12	eqcomi 2631	. . . 4 ⊢ ∅ = (iEdg‘∅)
14	11, 13	isuhgr 25955	. . 3 ⊢ (∅ ∈ V → (∅ ∈ UHGraph ↔ ∅:dom ∅⟶(𝒫 ∅ ∖ {∅})))
15	9, 14	ax-mp 5	. 2 ⊢ (∅ ∈ UHGraph ↔ ∅:dom ∅⟶(𝒫 ∅ ∖ {∅}))
16	8, 15	mpbir 221	1 ⊢ ∅ ∈ UHGraph

Syntax hints:   ↔ wb 196   ∈ wcel 1990  Vcvv 3200   ∖ cdif 3571  ∅c0 3915  𝒫 cpw 4158  {csn 4177  dom cdm 5114  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  Vtxcvtx 25874  iEdgciedg 25875   UHGraph cuhgr 25951

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-slot 15861  df-base 15863  df-edgf 25868  df-vtx 25876  df-iedg 25877  df-uhgr 25953

This theorem is referenced by: (None)