Theorem 2dom 6308

Description: A set that dominates ordinal 2 has at least 2 different members. (Contributed by NM, 25-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
2dom	|- ( 2o ~<_ A -> E. x e. A E. y e. A -. x = y )

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem 2dom

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df2o2 6038	. . . 4 |- 2o = { (/) , { (/) } }
2	1	breq1i 3792	. . 3 |- ( 2o ~<_ A <-> { (/) , { (/) } } ~<_ A )
3		brdomi 6253	. . 3 |- ( { (/) , { (/) } } ~<_ A -> E. f f : { (/) , { (/) } } -1-1-> A )
4	2, 3	sylbi 119	. 2 |- ( 2o ~<_ A -> E. f f : { (/) , { (/) } } -1-1-> A )
5		f1f 5112	. . . . 5 |- ( f : { (/) , { (/) } } -1-1-> A -> f : { (/) , { (/) } } --> A )
6		0ex 3905	. . . . . 6 |- (/) e. _V
7	6	prid1 3498	. . . . 5 |- (/) e. { (/) , { (/) } }
8		ffvelrn 5321	. . . . 5 |- ( ( f : { (/) , { (/) } } --> A /\ (/) e. { (/) , { (/) } } ) -> ( f ` (/) ) e. A )
9	5, 7, 8	sylancl 404	. . . 4 |- ( f : { (/) , { (/) } } -1-1-> A -> ( f ` (/) ) e. A )
10		p0ex 3959	. . . . . 6 |- { (/) } e. _V
11	10	prid2 3499	. . . . 5 |- { (/) } e. { (/) , { (/) } }
12		ffvelrn 5321	. . . . 5 |- ( ( f : { (/) , { (/) } } --> A /\ { (/) } e. { (/) , { (/) } } ) -> ( f ` { (/) } ) e. A )
13	5, 11, 12	sylancl 404	. . . 4 |- ( f : { (/) , { (/) } } -1-1-> A -> ( f ` { (/) } ) e. A )
14		0nep0 3939	. . . . . 6 |- (/) =/= { (/) }
15	14	neii 2247	. . . . 5 |- -. (/) = { (/) }
16		f1fveq 5432	. . . . . 6 |- ( ( f : { (/) , { (/) } } -1-1-> A /\ ( (/) e. { (/) , { (/) } } /\ { (/) } e. { (/) , { (/) } } ) ) -> ( ( f ` (/) ) = ( f ` { (/) } ) <-> (/) = { (/) } ) )
17	7, 11, 16	mpanr12 429	. . . . 5 |- ( f : { (/) , { (/) } } -1-1-> A -> ( ( f ` (/) ) = ( f ` { (/) } ) <-> (/) = { (/) } ) )
18	15, 17	mtbiri 632	. . . 4 |- ( f : { (/) , { (/) } } -1-1-> A -> -. ( f ` (/) ) = ( f ` { (/) } ) )
19		eqeq1 2087	. . . . . 6 |- ( x = ( f ` (/) ) -> ( x = y <-> ( f ` (/) ) = y ) )
20	19	notbid 624	. . . . 5 |- ( x = ( f ` (/) ) -> ( -. x = y <-> -. ( f ` (/) ) = y ) )
21		eqeq2 2090	. . . . . 6 |- ( y = ( f ` { (/) } ) -> ( ( f ` (/) ) = y <-> ( f ` (/) ) = ( f ` { (/) } ) ) )
22	21	notbid 624	. . . . 5 |- ( y = ( f ` { (/) } ) -> ( -. ( f ` (/) ) = y <-> -. ( f ` (/) ) = ( f ` { (/) } ) ) )
23	20, 22	rspc2ev 2715	. . . 4 |- ( ( ( f ` (/) ) e. A /\ ( f ` { (/) } ) e. A /\ -. ( f ` (/) ) = ( f ` { (/) } ) ) -> E. x e. A E. y e. A -. x = y )
24	9, 13, 18, 23	syl3anc 1169	. . 3 |- ( f : { (/) , { (/) } } -1-1-> A -> E. x e. A E. y e. A -. x = y )
25	24	exlimiv 1529	. 2 |- ( E. f f : { (/) , { (/) } } -1-1-> A -> E. x e. A E. y e. A -. x = y )
26	4, 25	syl 14	1 |- ( 2o ~<_ A -> E. x e. A E. y e. A -. x = y )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 103   = wceq 1284   E.wex 1421   e. wcel 1433   E.wrex 2349   (/)c0 3251   {csn 3398   {cpr 3399   class class class wbr 3785   -->wf 4918   -1-1->wf1 4919   ` cfv 4922   2oc2o 6018   ~<_ cdom 6243

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-sbc 2816  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-opab 3840  df-id 4048  df-suc 4126  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fv 4930  df-1o 6024  df-2o 6025  df-dom 6246

This theorem is referenced by: (None)