Theorem addnidpig 6526

Description: There is no identity element for addition on positive integers. (Contributed by NM, 28-Nov-1995.)

Assertion

Ref	Expression
addnidpig	|- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> -. ( A +N B ) = A )

Proof of Theorem addnidpig

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pinn 6499	. . 3 |- ( A e. N. -> A e. om )
2		elni2 6504	. . . 4 |- ( B e. N. <-> ( B e. om /\ (/) e. B ) )
3		nnaordi 6104	. . . . . . 7 |- ( ( B e. om /\ A e. om ) -> ( (/) e. B -> ( A +o (/) ) e. ( A +o B ) ) )
4		nna0 6076	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. om -> ( A +o (/) ) = A )
5	4	eleq1d 2147	. . . . . . . . 9 |- ( A e. om -> ( ( A +o (/) ) e. ( A +o B ) <-> A e. ( A +o B ) ) )
6		nnord 4352	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. om -> Ord A )
7		ordirr 4285	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Ord A -> -. A e. A )
8	6, 7	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. om -> -. A e. A )
9		eleq2 2142	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A +o B ) = A -> ( A e. ( A +o B ) <-> A e. A ) )
10	9	notbid 624	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A +o B ) = A -> ( -. A e. ( A +o B ) <-> -. A e. A ) )
11	8, 10	syl5ibrcom 155	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. om -> ( ( A +o B ) = A -> -. A e. ( A +o B ) ) )
12	11	con2d 586	. . . . . . . . 9 |- ( A e. om -> ( A e. ( A +o B ) -> -. ( A +o B ) = A ) )
13	5, 12	sylbid 148	. . . . . . . 8 |- ( A e. om -> ( ( A +o (/) ) e. ( A +o B ) -> -. ( A +o B ) = A ) )
14	13	adantl 271	. . . . . . 7 |- ( ( B e. om /\ A e. om ) -> ( ( A +o (/) ) e. ( A +o B ) -> -. ( A +o B ) = A ) )
15	3, 14	syld 44	. . . . . 6 |- ( ( B e. om /\ A e. om ) -> ( (/) e. B -> -. ( A +o B ) = A ) )
16	15	expcom 114	. . . . 5 |- ( A e. om -> ( B e. om -> ( (/) e. B -> -. ( A +o B ) = A ) ) )
17	16	imp32 253	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ ( B e. om /\ (/) e. B ) ) -> -. ( A +o B ) = A )
18	2, 17	sylan2b 281	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. N. ) -> -. ( A +o B ) = A )
19	1, 18	sylan 277	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> -. ( A +o B ) = A )
20		addpiord 6506	. . 3 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A +N B ) = ( A +o B ) )
21	20	eqeq1d 2089	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( ( A +N B ) = A <-> ( A +o B ) = A ) )
22	19, 21	mtbird 630	1 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> -. ( A +N B ) = A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 102   = wceq 1284   e. wcel 1433   (/)c0 3251   Ord word 4117   omcom 4331  (class class class)co 5532   +o coa 6021   N.cnpi 6462   +N cpli 6463

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-irdg 5980  df-oadd 6028  df-ni 6494  df-pli 6495

This theorem is referenced by: (None)