Theorem addpiord 6506

Description: Positive integer addition in terms of ordinal addition. (Contributed by NM, 27-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
addpiord	|- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A +N B ) = ( A +o B ) )

Proof of Theorem addpiord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxpi 4394	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> <. A , B >. e. ( N. X. N. ) )
2		fvres 5219	. . 3 |- ( <. A , B >. e. ( N. X. N. ) -> ( ( +o |` ( N. X. N. ) ) ` <. A , B >. ) = ( +o ` <. A , B >. ) )
3		df-ov 5535	. . . 4 |- ( A +N B ) = ( +N ` <. A , B >. )
4		df-pli 6495	. . . . 5 |- +N = ( +o |` ( N. X. N. ) )
5	4	fveq1i 5199	. . . 4 |- ( +N ` <. A , B >. ) = ( ( +o |` ( N. X. N. ) ) ` <. A , B >. )
6	3, 5	eqtri 2101	. . 3 |- ( A +N B ) = ( ( +o |` ( N. X. N. ) ) ` <. A , B >. )
7		df-ov 5535	. . 3 |- ( A +o B ) = ( +o ` <. A , B >. )
8	2, 6, 7	3eqtr4g 2138	. 2 |- ( <. A , B >. e. ( N. X. N. ) -> ( A +N B ) = ( A +o B ) )
9	1, 8	syl 14	1 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A +N B ) = ( A +o B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   = wceq 1284   e. wcel 1433   <.cop 3401   X. cxp 4361   |` cres 4365   ` cfv 4922  (class class class)co 5532   +o coa 6021   N.cnpi 6462   +N cpli 6463

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-opab 3840  df-xp 4369  df-res 4375  df-iota 4887  df-fv 4930  df-ov 5535  df-pli 6495

This theorem is referenced by:  addclpi  6517  addcompig  6519  addasspig  6520  distrpig  6523  addcanpig  6524  addnidpig  6526  ltexpi  6527  ltapig  6528  1lt2pi  6530  indpi  6532  archnqq  6607  prarloclemarch2  6609  nqnq0a  6644